Tìm các bộ số $(a,b,c)$ với $a,b,c$ không âm sao cho:
\[ a^2+2b+c,b^2+2c+a,c^2+2a+b\]
là các số chính phương.
Tìm các bộ số $(a,b,c)$ với $a,b,c$ không âm sao cho:
\[ a^2+2b+c,b^2+2c+a,c^2+2a+b\]
là các số chính phương.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Ko giảm tq,gs $a\geq b\geq c$
Khi đó,$(a+b+1)^2-(a^2+2b+c)=(b-1)^2+2ab+2b+2a-c$>$ 0$
$a^2+2b+c-(a+b-1)^2=b(2a-b)+4b+2a+2c-1> 0$
$\rightarrow a^2+2b+c=(a+b)^2\rightarrow 2b+c=2ab+b^2$ maf $a\geq b\geq c$$\rightarrow 2ab=2b ,c=b^{2}$
Đến đây xét trường hợp được (a,b,c) thuộc (0,0,0),(1,1,1)
P.S: em làm sai r (bị nhầm dấu)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 03-06-2021 - 19:30
Tìm các bộ số $(a,b,c)$ với $a,b,c$ không âm sao cho:
\[ a^2+2b+c,b^2+2c+a,c^2+2a+b\]
là các số chính phương.
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
Ta có
$4a+4>2b+c\geq 0$
$\Rightarrow a^{2}+4a+4>a^{2}+2b+c\geq a^{2}$
$\Rightarrow (a+2)^{2}>a^{2}+2b+c\geq a^{2}$
Mà $a^2+2b+c$ là SCP nên $a^2+2b+c=a^2$ hoặc $a^2+2b+c=(a+1)^2$
+)Nếu $a2+2b+c=a^2$
$\Rightarrow b=c=0$
$\Rightarrow a$ và $2a$ là SCP
$\Rightarrow a=0$
+)Nếu $a^2+2b+c=(a+1)^2$
$\Rightarrow 2b+c=2a+1 \Rightarrow 2a+1\leq 3b< 4b+1 \Rightarrow a< 2b$
Vì $2b+c=2a+1> 0$ nên $b>0$ hoặc $c>0 \Rightarrow a>0$
Ta có
$b^2<b^2+2c+a<b^2+4b+4=(b+2)^2$
Mà $b^2+2c+a$ là SCP nên $b2+2c+a=(b+1)^2$
$\Rightarrow 2c+a=2b+1$
Vì $2b+c=2a+1 \Rightarrow 2b+1+c=2a+2$
$\Rightarrow 2c+a+c=2a+2\Rightarrow a=3c-2$
Mà $2c+a=2b+1$ nên $b=\frac{5c-3}{2}$
Do đó $c^2+2a+b=c^2+\frac{11c-7}{2}$ là SCP
Đặt $c^2+\frac{11c-7}{2}=x^2$($x$ là số tự nhiên)
$\Rightarrow 16c^{2}+88c-56=16x^{2}\Rightarrow (4c+11)^{2}-177=16x^{2} \Rightarrow (4c-4x+11)(4c+4x+11)=177$
Đến đây chắc là được rồi nhỉ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-06-2021 - 19:14
LaTeX
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh