Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

\[a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ d^{2}\leqq ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd \tag{@HanhVyheaven28}\]

@hanhvyheaven28 1abcd3

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 14-10-2019 - 15:06

CHO $4$ SỐ $a, b, c, d$ SAO CHO $1\leqq a\leqq b\leqq c\leqq d\leqq 3$. CHỨNG MINH RẰNG:

$$\begin{equation}\begin{split} a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ d^{2}\leqq ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd \end{split}\end{equation}$$



#2 Henry00Harry

Henry00Harry

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 23-10-2019 - 12:26

CHO $4$ SỐ $a, b, c, d$ SAO CHO $1\leqq a\leqq b\leqq c\leqq d\leqq 3$. CHỨNG MINH RẰNG:

$$\begin{equation}\begin{split} a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ d^{2}\leqq ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd \end{split}\end{equation}$$

Vì $1\leq a\leq b\leq c\leq d\leq 3\Rightarrow (a-1)(a-b)\leq 0,(a-1)(a-c)\leq 0,(a-1)(a-d)\leq 0,(b-1)(b-c)\leq 0,(b-1)(b-d\leq 0,(c-1)(c-d)\leq 0 \Rightarrow a^{2}-a+b\leq ab,a^{2}-a+c\leq ac,a^{2}-a+d\leq ad,b^{2}-b+c\leq bc,b^{2}-b+d\leq bd,c^{2}-c+d\leq cd$

cộng vế các BĐT trên =>

 

$3a^{2}+2b^{2}+c^{2}-3a-b+c+3d\leq \sum ab$

mà $a\geq 1,b\geq 1\Rightarrow 2a^{2}\geq 2a,b^{2}\geq b \rightarrow \sum ab\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2a-3a+b-b+c (3\geq d)$

$\Rightarrow \sum ab\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+c-a\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} ( c\geq a)$

dấu "=" xảy ra kgi a=b=c=1, d=3



#3 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 23-10-2019 - 13:24

@HaiDangel

TỪ GIẢ THIẾT, TA ĐƯỢC : 

$$d(a+ b+ c)- d^{2}= d(a+ b+ c- d)= d(3a- d)+ d\left ( (b- a)+ (c- a) \right )\geqq$$

$$\geqq b(b- a)+ c(c- a)\geqq (b- a)^{2}+ (c- a)^{2}\geqq \frac{1}{2}\left ( (b- a)^{2}+ (c- a)^{2}+ (c- a)^{2} \right )\geqq$$

$$\begin{equation}\begin{split}\geqq \frac{1}{2}\left ( (b- a)^{2}+ (c- b)^{2}+ (c- a)^{2} \right )= a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- (ab+ bc+ ca)\because 3a\geqq d \end{split}\end{equation}$$







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh