Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $\sum \frac{2xy}{(z+x)(z+y)}\geq \frac{5}{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ngocsugar

ngocsugar

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Cho x, y, z > 0. Chứng minh 

$\frac{2xy}{(z+ x)( z+ y)} + \frac{2yz}{(x +y)(x+z)}+ \frac{3zx}{(y+ z)(y+x)} \geq \frac{5}{3}$

Chú ýCách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 04-04-2015 - 02:57


#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $6xy(x+y)+6yz(y+z)+9zx(z+x)\geqslant 5(x+y)(y+z)(z+x)$

$\Leftrightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+4zx(z+x)\geqslant 10xyz\Leftrightarrow \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{4(z+x)}{y}\geqslant 10$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng do: $\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{4(z+x)}{y}=(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{4z}{y})+(\frac{y}{x}+\frac{4x}{y})\geqslant 2+4+4=10$

Đẳng thức xảy ra khi $y=2x=2z$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh