Chủ đề này có 2 trả lời

[Hunghcd]

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH.Gọi I,J,K lần lượt là tâm nội tiếp $\Delta ABC,\Delta ABH,\Delta ACH$.CMR đường tròn ngoại tiếp $\Delta IJK$ và đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ có bán kính bằng nhau.

[Hoang72]

Gọi D, E lần lượt là giao của AJ, AK với BC.

Ta có $\Delta AHB\sim\Delta CHA$ nên $\frac{HJ}{HK}=\frac{HA}{HC}$. Suy ra $\Delta HJK\sim\Delta HAC(c.g.c)$. Từ đó biến đổi góc được các tứ giác AKHD, AJHE nội tiếp. Suy ra $\angle AJE=\angle AKD=90^\circ$. Do đó tứ giác DJKE nội tiếp đường tròn đường kính DE. Biến đổi góc ta có các tứ giác AIDB, AIEC nội tiếp. Bằng phương pháp tương tự ta có I thuộc đường tròn $(DE)$. Gọi F là tâm của (IJK) thì F là trung điểm của DE. Mặt khác $\angle IDE=\angle IAB=\angle IAC=\angle IED$ nên IE = ID. Từ đó $IF\perp DE$ nên ta có đpcm.

[PDF]

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH.Gọi I,J,K lần lượt là tâm nội tiếp $\Delta ABC,\Delta ABH,\Delta ACH$.CMR đường tròn ngoại tiếp $\Delta IJK$ và đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ có bán kính bằng nhau.

Gọi $X,Y$ lần lượt là tiếp điểm của $(J),(K)$ với $AB,AC$. Đặt $AB=u,AC=v$. Ta có:

$$\frac{BX}{BA}=\frac{BA+BH-AH}{2BA}=\frac{u+\frac{u^{2}}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}-\frac{uv}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}}{2u}=\frac{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u-v}{2\sqrt{u^{2}+v^{2}}}=\frac{BC+AB-AC}{2BC}=\frac{BD}{BC}.$$

Suy ra $XD\parallel AC$, tương đương $X,J,D$ thẳng hàng. Hoàn toàn tương tự ta có $Y,K,D$ thẳng hàng. Hơn nữa, ta có $\angle JDK=90^{\circ}$.

Mặt khác, ta có:

$$\frac{JX}{JD}=\frac{BX}{BD}=\frac{BA}{BC}; \frac{KY}{KD}=\frac{CY}{CD}=\frac{CA}{CB}$$

$\Rightarrow \frac{JX}{JD}:\frac{KY}{KD}=\frac{AB}{AC}$.

Lại có $\triangle ABH\sim \triangle CAH$ nên tỉ lệ bán kính đường tròn nội tiếp của hai tam giác đúng bằng tỉ số đồng dạng, hay

$$\frac{JX}{KY}=\frac{AB}{AC}.$$

Kết hợp với trên suy ra $DJ=DK$. Mặt khác , ta có $\angle JDK=90^{\circ}=2(180^{\circ}-\angle JIK)$.

Vì vậy $D$ là tâm $(JIK)$, kéo theo $R_{(JIK)}=ID=R_{(I)}$. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 05-06-2021 - 17:09