Chứng minh rằng nếu $|a|>2$ thì hệ phương trình sau vô nghiệm: $\left\{\begin{matrix} x^5-2y=a & \\ x^2+y^2=1 & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x^5-2y=a & \\ x^2+y^2=1 & \end{matrix}\right.$
#1
Đã gửi 05-06-2021 - 21:56
#2
Đã gửi 07-06-2021 - 16:13
Ta chỉ cần chứng minh nếu $x^2+y^2\leq 1$ thì $-2\leq x^5-2y\leq 2$.
Dễ thấy $-1\leq x,y\leq 1$.
Đầu tiên ta chứng minh $x^5-2y\leq 2$.
Nếu y > 0 thì rõ ràng $x^5-2y\leq 1<2$. Do đó ta xét $y\leq 0$. Khi đó $y=-\sqrt{1-x^2}$.
BĐT $x^5+2\sqrt{1-x^2}\leq 2\Leftrightarrow x^2(x^8-4x^3+4)\geq 0$. (luôn đúng)
Bằng phương pháp tương tự cũng chứng minh được $x^2-5y\geq -2$.
Vậy ta có đpcm.
- DBS yêu thích
#3
Đã gửi 07-06-2021 - 16:20
Mới giải ra, không biết đúng ko
Giả sử hệ có nghiệm. Khi đó, từ $x^2+y^2=1\Rightarrow x^2,y^2 \leq 1$
$\Rightarrow |x|,|y|\leq 1 \Rightarrow |x|^5\leq|x|^2$
Do đó $|a|=|x^5-2y|=|x|^5+2|y|\leq |x|^2+|y|^2-(|y|^2-2|y|+1)=2-(|y|-1)^2\leq 2$
Suy ra $|a|\leq 2$ (vô lý).
Vậy ta có đpcm.
- Hoang72 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh