2 replies to this topic

[DBS]

Chứng minh rằng nếu $|a|>2$ thì hệ phương trình sau vô nghiệm: $\left\{\begin{matrix} x^5-2y=a & \\ x^2+y^2=1 & \end{matrix}\right.$

[Hoang72]

Ta chỉ cần chứng minh nếu $x^2+y^2\leq 1$ thì $-2\leq x^5-2y\leq 2$.

Dễ thấy $-1\leq x,y\leq 1$.

Đầu tiên ta chứng minh $x^5-2y\leq 2$.

Nếu y > 0 thì rõ ràng $x^5-2y\leq 1<2$. Do đó ta xét $y\leq 0$. Khi đó $y=-\sqrt{1-x^2}$.

BĐT $x^5+2\sqrt{1-x^2}\leq 2\Leftrightarrow x^2(x^8-4x^3+4)\geq 0$. (luôn đúng)

Bằng phương pháp tương tự cũng chứng minh được $x^2-5y\geq -2$.

Vậy ta có đpcm.

[DBS]

Mới giải ra, không biết đúng ko

 

Giả sử hệ có nghiệm. Khi đó, từ $x^2+y^2=1\Rightarrow x^2,y^2 \leq 1$

$\Rightarrow |x|,|y|\leq 1 \Rightarrow |x|^5\leq|x|^2$

Do đó $|a|=|x^5-2y|=|x|^5+2|y|\leq |x|^2+|y|^2-(|y|^2-2|y|+1)=2-(|y|-1)^2\leq 2$

Suy ra $|a|\leq 2$ (vô lý).

Vậy ta có đpcm.