Tìm GTNN của A = $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}$ với x, y là các số không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=2$
Cảm ơn các bác đã quan tâm !
Tìm GTNN của A = $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}$ với x, y là các số không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=2$
Cảm ơn các bác đã quan tâm !
Lời giải.
Ta có: $A^2=x+y+2+2\sqrt{(x+1)(y+1)}=x+y+2+2\sqrt{xy+x+y+1}\geqslant x+y+2+2\sqrt{x+y+1}$ (Do $x,y$ không âm)
Vì $x,y$ không âm nên $x^2=2-y^2\leqslant 2\Rightarrow 0\leqslant x\leqslant \sqrt{2}\Rightarrow x(x-\sqrt{2})\leqslant 0\Rightarrow x^2\leqslant \sqrt{2}x$
Tương tự: $y^2\leqslant \sqrt{2}y$
Từ đó suy ra $\sqrt{2}(x+y)\geqslant x^2+y^2=2\Rightarrow x+y\geq \sqrt{2}$
$\Rightarrow x+y+2+2\sqrt{x+y+1}\geqslant \sqrt{2}+2+2\sqrt{\sqrt{2}+1}$
Vậy $A\geqslant \sqrt{\sqrt{2}+2+2\sqrt{\sqrt{2}+1}}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left ( x,y \right )\in \left \{ \left ( 0,\sqrt{2} \right );(\sqrt{2},0) \right \}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh