Chủ đề này có 1 trả lời

[NguyenMinhTri]

Cho $\Delta ABC$. AB = AC, D thuộc BC. Khoảng cách từ D đến AB bằng 3, khoảng cách từ D đến

AC bằng 11, gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác $\Delta ABC$, khoảng cách từ

I đến các cạnh tam giác bằng 4. Tính $cos \angle ABC$

 

Nhờ mọi người giúp mình bài này với ạ! Mình cảm ơn!

[Dark Repulsor]

Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ lên $AB,AC$

Ký hiệu $a=BC, b=CA, c=AB$ ($b=c$), $p$ là nửa chu vi tam giác

$r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}=\sqrt{\frac{\frac{a^{2}}{4}(b-\frac{a}{2})}{\frac{a}{2}+b}}=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2b-a}{2b+a}}=4 \Leftrightarrow a^{2}(2b-a)=64(2b+a)$

$\Leftrightarrow b=\frac{a(a^{2}+64)}{2(a^{2}-64)}$

Theo định lý cos: $cosB=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}=\frac{a}{2b}=\frac{a^{2}-64}{a^{2}+64}$

$\bigtriangleup DBE \sim \bigtriangleup DCF \Rightarrow \frac{3}{11}=\frac{DE}{DF}=\frac{BE}{CF}=\frac{b-AE}{b-AF} \Rightarrow AE=\frac{3AF+8b}{11}$

$AD^{2}=AE^{2}+9=AF^{2}+121$

Thế vào rồi rút gọn ta được: $112AF^{2}-48b.AF=64b^{2}-13552 \Leftrightarrow 112(AF-\frac{3b}{14})^{2}=\frac{484b^{2}}{7}-13552 \Leftrightarrow AF=\frac{11\sqrt{b^{2}-196}+3b}{14}$

$AE=\frac{3\sqrt{b^{2}-196}+121b}{154}$ ; $BE=\frac{3(11b-\sqrt{b^{2}-196})}{154}$ ; $CF=\frac{17b-11\sqrt{b^{2}-196}}{14}$

$DB=\sqrt{BE^{2}+9}=\frac{3\sqrt{(11b-\sqrt{b^{2}-196})^{2}+23716}}{154}$

$DC=\sqrt{CF^{2}+121}=\frac{\sqrt{(17b-11\sqrt{b^{2}-196})^{2}+23716}}{14}$

$a=\frac{3\sqrt{(11b-\sqrt{b^{2}-196})^{2}+23716}}{154}+\frac{\sqrt{(17b-11\sqrt{b^{2}-196})^{2}+23716}}{14}=\frac{3\sqrt{\left[\frac{11a(a^{2}+64)}{2(a^{2}-64)}-\sqrt{\left(\frac{a(a^{2}+64)}{2(a^{2}-64)}\right)^{2}-196}\right]^{2}+23716}}{154} + \frac{\sqrt{\left[\frac{17a(a^{2}+64)}{2(a^{2}-64)}-11\sqrt{\left(\frac{a(a^{2}+64)}{2(a^{2}-64)}\right)^{2}-196}\right]^{2}+23716}}{14}$

Giải pt tìm a rồi thế vào ta tìm được $cosB$

 

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 10-06-2021 - 02:04