Chủ đề này có 1 trả lời

[Hunghcd]

Tìm tất cả số nguyên tố p sao cho $\frac{p^2-p}{2}-1$ là lập phương của một số tự nhiên 

                  --Đề thi Chuyên Lam Sơn--

[Dark Repulsor]

$\frac{p^{2}-p}{2}-1=a^{3}$ ($a\in \mathbb{N^{*}}$) $\Rightarrow p(p-1)=2(a+1)(a^{2}-a+1)$

$p=2$ thỏa với $a=0$, $p=3$ không thỏa

Xét $p\geq 5 \Rightarrow \frac{p^{2}-p}{2}-1\geq 2p-1\geq 9 \Rightarrow a>2 \Rightarrow a^{2}-a+1>a+1$

$gcd(a+1,a^{2}-a+1)=gcd(a+1,3)=$ {$1;3$}

TH$1$: $gcd(a+1,a^{2}-a+1)=1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} p=a^{2}-a+1 \\ p-1=2(a+1) \end{matrix}\right. \Rightarrow a^{2}-3a-2=0$ ($\nexists a\in \mathbb{N^{*}}$ thỏa mãn)

TH$2$: $gcd(a+1,a^{2}-a+1)=3$. Đặt $a=3b+2$ ($b\in \mathbb{N^{*}}$) $\Rightarrow p(p-1)=18(b+1)(3b^{2}+3b+1)$

$gcd(b+1,3b^{2}+3b+1)=1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} p=3b^{2}+3b+1 \\ p-1=18(b+1) \end{matrix}\right. \Rightarrow b=6 \Rightarrow p=127$ với $a=20$