Chủ đề này có 2 trả lời

[Gaukoala123]

Giải phương trình nghiệm nguyên: $(x^2+y^2-1)^2-5x^2-4y^2-5=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-06-2021 - 22:12
Tiêu đề + LaTeX

[Dark Repulsor]

Đặt $a=x^{2}$ , $b=y^{2}$  ($a,b\in \mathbb{N}$)

$(a+b-1)^{2}-5a-4b-5=0 \Leftrightarrow (a+b-1)(a+b-6)=10-b$

$a=b=0$ ; $a=1,b=0$ ; $a=0,b=1$ không thỏa. Suy ra $a+b>1 \Rightarrow a+b-6$ và $10-b$ cùng dấu (vì nếu $b=10$ thì VT $>0$ , VP $=0$)

TH$1$:  $\left\{\begin{matrix} a+b>6 \\ b<10 \end{matrix}\right.$

Mà $b$ là bình phương của $1$ số nguyên nên $b\in$ {$0;1;4;9$}. Từ đó thay vào tính $a$ rồi suy ra $x,y$

TH$2$:  $\left\{\begin{matrix} a+b<6 \\ b>10 \end{matrix}\right.$  (vô lý vì $a\in \mathbb{N}$)

[Baoriven]

Những bài pt nghiệm nguyên dạng này thì chọn giải theo $\Delta$ cũng là một cách.

Đặt $a=x^2,b=y^2$.

Viết lại pt ban đầu: $(a+b-1)^2-5a-4b-5=0$.

Khi đó $\Delta_a=65-4b$.

Để pt có nghiệm nguyên thì $\Delta$ là số chính phương. Ở đây còn là số chính phương lẻ.

Mặt khác $b$ cũng là số chình phương (do cách đặt) nên $b=4$ hoặc $b=16$. (nhờ việc thử các giá trị)

+) Với $b=4$ thì $a=3$ hoặc $a=-4$.

+) Với $b=16$ thì $a=-12$ hoặc $a=-13$.

Vậy pt không có nghiệm nguyên.