Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: abc=1
CMR:$\sum \frac{a^3+5}{a^3(b+c)}\geq 9$
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: abc=1
CMR:$\sum \frac{a^3+5}{a^3(b+c)}\geq 9$
BĐT tương đương với $$\sum \frac{1}{b+c}+5\sum \frac{b^{3}c^{3}}{b+c}\geq 9.$$
Áp dụng BĐT C-S:
$$\sum \frac{1}{b+c}\geq \frac{9}{2(a+b+c)};$$
$$5\sum \frac{b^{3}c^{3}}{b+c}=5\sum \frac{b^{2}c^{2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq \frac{5(bc+ca+ab)^{2}}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}=\frac{5(bc+ca+ab)}{2}\geq \frac{9}{2}+bc+ca+ab.$$
Cần chứng minh: $$bc+ca+ab+\frac{9}{2(a+b+c)}\geq \frac{9}{2}.$$
Áp dụng bổ đề $(bc+ca+ab)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$ có:
$$VT\geq x+\frac{27}{2x^{2}}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{27}{2x^{2}}\geq \frac{9}{2},$$
với $x=bc+ca+ab$.
Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 20-06-2021 - 22:18
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh