Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm cá voi bằng định lý Pythagoras

pythagoras

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 18-10-2019 - 20:44

Hiện nay cá voi đang chịu nhiều sự đe dọa, ví dụ như nạn săn cá voi, môi trường sống bị suy giảm, nước biển bị ô nhiễm, ảnh hưởng từ thiết bị phát hiện tàu ngầm, hay biến đổi khí hậu. Ngoài ra, cá voi có thể bị mắc kẹt vào tàu cá. Do đó, để tránh cá voi, thủy thủ trên tàu phải biết vị trí của cá voi để tránh. Để giải quyết bài toán này ta cần sử dụng đến một định lý đã có từ thời xa xưa và rất quen thuộc với các bạn học sinh: Định lý Pythagoras.

whales.jpg

Cá voi beluga

 

I. ĐỊNH LÝ PYTHAGORAS

 

Cho một tam giác vuông như hình dưới, định lý Pythagoras nói rằng diện tích hình vuông ở cạnh huyền $c^{2}$ bằng với tổng 2 diện tích của 2 hình vuông ở 2 cạnh góc vuông, tức $a^{2}+b^{2}$

595px-pythagorean.png

Định lý Pythagoras

Hay nói cách khác

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Định lý này được đặt tên theo nhà Toán học tên là Pythagoras đến từ vùng Samos vào thời Hi Lạp cổ đại.

 

II. TÌM CÁ VOI

 

Một cách để xác định vị trí của cá voi đó là dùng máy thủy âm định vị để phát ra âm thanh và thu lại tiếng vang. Tuy nhiên, cá voi rất ghét âm thanh này vì nó làm cho cá voi bị nhầm tín hiệu với cá voi khác, làm đảo lộn hành vi của cá voi, thậm chí có cá voi phải bơi lên cạn để tránh âm thanh này. Do đó, thay vì sự dụng máy thủy âm định vị phát ra âm thanh trực tiếp đến cá voi, ta hãy lắng nghe chính âm thanh phát ra từ cá voi, hay nói cách khác là nghe cá voi "hát" giống như clip dưới đây

Nếu cá voi bơi gần bề mặt mặt biển và cách tàu một khoảng $L$, thì thời gian $T$ để âm thanh từ cá voi phát ra đi đến tàu là:

$$T=\frac{L}{C}$$

với $C$ là tốc độ âm thanh trong nước biển, khoảng $1500 \text{m/s}$. Bài toán đặt ra là làm thế nào để xác định giá trị của $L$?

whaleship.jpg

 

Để giải được bài toán này, ta cần nghe 2 âm thanh, một âm phát ra trực tiếp từ cá voi đến tàu và âm vang từ đáy biển vọng lên, từ sai số này, ta có thể tính khoảng cách $L$ đến cá voi. Đầu tiên, ta cần tính độ sâu xuống đáy biển xung quanh tàu bằng cách sử dụng máy thủy âm định vị, phát ra một sóng xung hướng thẳng đứng xuống đáy biển và thu lại âm vang, ảnh dưới đây là biểu đồ sóng của tín hiệu thu được từ sóng xung (màu xanh) và âm vang tương ứng (màu đỏ).

soundwave1.jpg

 

Giả sử thời gian để phát ra sóng xung và nhận lại âm vang là $D$, khi đó sóng di chuyển với quãng đường là $2H$ với $H$ là độ sâu từ tàu xuống đáy biển.

depth.jpg

 

điều này có nghĩa

$$D=\frac{2H}{C}$$

chuyển vế, ta được

$$H=\frac{CD}{2}$$

ta có thể ước lượng được $D$ cũng như có giá trị của $C$ nên ta cũng tính được giá trị của $H$.

Trở lại định lý Pythagoras, khi nghe âm thanh phát ra từ cá voi, ta có thể xác định sai số thời gian $\Delta$ của âm thanh đó với âm vang của nó phản xạ từ đáy biển bằng cách nghe hết miền âm vang và xác định quy luật dựa vào thống kê.

depth.jpg

 

Vị trí tàu, vị trí cá voi, và vị trí đáy biển nơi mà âm phát ra từ cá voi chạm đến tạo thành tam giác cân, ta có thể chia tam giác cân này thành 2 hình vuông như giản đồ dưới đây

depth2.jpg

 

Áp đụng định lý Pythagoras vào một tam giác vuông bất kỳ, ta được

$$S^{2}=H^{2}+\frac{L^{2}}{4}$$

do đó

$$S = \sqrt{H^{2}+\frac{L^{2}}{4}}$$

Tổng quãng đường mà âm thanh phản xạ lên mặt biển là $2S$, ta viết lại phương trình toán

$$2S=2\sqrt{H^{2}+\frac{L^{2}}{4}}=\sqrt{4H^{2}+L^{2}}$$

Do đó, thời gian để âm vang từ cá voi đi đến con tàu là

$$T_\text{âm vang}=\frac{4H^{2}+L^{2}}{2}$$

Sai số giữa thời gian âm thanh $T$ từ cá voi đến tàu và âm vang $T_\text{âm vang}$ của cá voi phản xạ từ đáy biển là

$$T_\text{âm vang}-T=\Delta=\frac{\sqrt{4H^2+L^2}}{C}-\frac{L}{C}$$

Chuyển vế, ta được

$$\Delta+\frac{L}{C}=\frac{\sqrt{4H^2+L^2}}{C}$$

Bình phương 2 vế

$$\Delta^{2}+2\Delta \frac{L}{C}+\frac{L^{2}}{C^{2}}=\frac{4H^{2}+L^{2}}{C^{2}}$$

Trừ $L^{2}/C^{2}$ ở hai vế, ta được

$$\Delta^{2}+2\Delta \frac{L}{C}=\frac{4H^{2}}{C^{2}}$$

vậy

$$L=\frac{2H^2}{\Delta C}-\frac{\Delta C}{2}$$

Do ta biết giá trị của $H$, $\Delta$ và $C$ cũng như hướng phát ra âm thanh của cá voi, ta có thể xác định chính xác vị trí của cá voi, từ đó thủy thủ sẽ điều khiển tàu để tránh cá voi đụng phải.

 

Cảm ơn Pythagoras!

 

Bài viết dịch từ Saving whales using Pythagoras của tác giả Chris Budd. Xem bản tiếng Anh tại https://plus.maths.o...sing-pythagoras

 


Đôi khi ngâm cứu Toán thấy cũng phê


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#2 VanAnhDz

VanAnhDz

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 20-11-2019 - 14:41

Bài viết rất hay  :icon6:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :like  :lol:



#3 toan2019

toan2019

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-12-2019 - 16:48

Một bài viết tuyệt vời!


Trong bộ môn giải tích, một nguyên hàm của một hàm số thực cho trước f là một hàm F có đạo hàm bằng f, nghĩa là, F′ = f. Quá trình tìm bảng nguyên hàm được gọi cho là rất cần thiết nếu muốn giải nhanh chủ đề này!






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pythagoras

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh