Hiện nay cá voi đang chịu nhiều sự đe dọa, ví dụ như nạn săn cá voi, môi trường sống bị suy giảm, nước biển bị ô nhiễm, ảnh hưởng từ thiết bị phát hiện tàu ngầm, hay biến đổi khí hậu. Ngoài ra, cá voi có thể bị mắc kẹt vào tàu cá. Do đó, để tránh cá voi, thủy thủ trên tàu phải biết vị trí của cá voi để tránh. Để giải quyết bài toán này ta cần sử dụng đến một định lý đã có từ thời xa xưa và rất quen thuộc với các bạn học sinh: Định lý Pythagoras.
Cá voi beluga
I. ĐỊNH LÝ PYTHAGORAS
Cho một tam giác vuông như hình dưới, định lý Pythagoras nói rằng diện tích hình vuông ở cạnh huyền $c^{2}$ bằng với tổng 2 diện tích của 2 hình vuông ở 2 cạnh góc vuông, tức $a^{2}+b^{2}$
Định lý Pythagoras
Hay nói cách khác
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$
Định lý này được đặt tên theo nhà Toán học tên là Pythagoras đến từ vùng Samos vào thời Hi Lạp cổ đại.
II. TÌM CÁ VOI
Một cách để xác định vị trí của cá voi đó là dùng máy thủy âm định vị để phát ra âm thanh và thu lại tiếng vang. Tuy nhiên, cá voi rất ghét âm thanh này vì nó làm cho cá voi bị nhầm tín hiệu với cá voi khác, làm đảo lộn hành vi của cá voi, thậm chí có cá voi phải bơi lên cạn để tránh âm thanh này. Do đó, thay vì sự dụng máy thủy âm định vị phát ra âm thanh trực tiếp đến cá voi, ta hãy lắng nghe chính âm thanh phát ra từ cá voi, hay nói cách khác là nghe cá voi "hát" giống như clip dưới đây
Nếu cá voi bơi gần bề mặt mặt biển và cách tàu một khoảng $L$, thì thời gian $T$ để âm thanh từ cá voi phát ra đi đến tàu là:
$$T=\frac{L}{C}$$
với $C$ là tốc độ âm thanh trong nước biển, khoảng $1500 \text{m/s}$. Bài toán đặt ra là làm thế nào để xác định giá trị của $L$?
Để giải được bài toán này, ta cần nghe 2 âm thanh, một âm phát ra trực tiếp từ cá voi đến tàu và âm vang từ đáy biển vọng lên, từ sai số này, ta có thể tính khoảng cách $L$ đến cá voi. Đầu tiên, ta cần tính độ sâu xuống đáy biển xung quanh tàu bằng cách sử dụng máy thủy âm định vị, phát ra một sóng xung hướng thẳng đứng xuống đáy biển và thu lại âm vang, ảnh dưới đây là biểu đồ sóng của tín hiệu thu được từ sóng xung (màu xanh) và âm vang tương ứng (màu đỏ).
Giả sử thời gian để phát ra sóng xung và nhận lại âm vang là $D$, khi đó sóng di chuyển với quãng đường là $2H$ với $H$ là độ sâu từ tàu xuống đáy biển.
điều này có nghĩa
$$D=\frac{2H}{C}$$
chuyển vế, ta được
$$H=\frac{CD}{2}$$
ta có thể ước lượng được $D$ cũng như có giá trị của $C$ nên ta cũng tính được giá trị của $H$.
Trở lại định lý Pythagoras, khi nghe âm thanh phát ra từ cá voi, ta có thể xác định sai số thời gian $\Delta$ của âm thanh đó với âm vang của nó phản xạ từ đáy biển bằng cách nghe hết miền âm vang và xác định quy luật dựa vào thống kê.
Vị trí tàu, vị trí cá voi, và vị trí đáy biển nơi mà âm phát ra từ cá voi chạm đến tạo thành tam giác cân, ta có thể chia tam giác cân này thành 2 hình vuông như giản đồ dưới đây
Áp đụng định lý Pythagoras vào một tam giác vuông bất kỳ, ta được
$$S^{2}=H^{2}+\frac{L^{2}}{4}$$
do đó
$$S = \sqrt{H^{2}+\frac{L^{2}}{4}}$$
Tổng quãng đường mà âm thanh phản xạ lên mặt biển là $2S$, ta viết lại phương trình toán
$$2S=2\sqrt{H^{2}+\frac{L^{2}}{4}}=\sqrt{4H^{2}+L^{2}}$$
Do đó, thời gian để âm vang từ cá voi đi đến con tàu là
$$T_\text{âm vang}=\frac{4H^{2}+L^{2}}{2}$$
Sai số giữa thời gian âm thanh $T$ từ cá voi đến tàu và âm vang $T_\text{âm vang}$ của cá voi phản xạ từ đáy biển là
$$T_\text{âm vang}-T=\Delta=\frac{\sqrt{4H^2+L^2}}{C}-\frac{L}{C}$$
Chuyển vế, ta được
$$\Delta+\frac{L}{C}=\frac{\sqrt{4H^2+L^2}}{C}$$
Bình phương 2 vế
$$\Delta^{2}+2\Delta \frac{L}{C}+\frac{L^{2}}{C^{2}}=\frac{4H^{2}+L^{2}}{C^{2}}$$
Trừ $L^{2}/C^{2}$ ở hai vế, ta được
$$\Delta^{2}+2\Delta \frac{L}{C}=\frac{4H^{2}}{C^{2}}$$
vậy
$$L=\frac{2H^2}{\Delta C}-\frac{\Delta C}{2}$$
Do ta biết giá trị của $H$, $\Delta$ và $C$ cũng như hướng phát ra âm thanh của cá voi, ta có thể xác định chính xác vị trí của cá voi, từ đó thủy thủ sẽ điều khiển tàu để tránh cá voi đụng phải.
Cảm ơn Pythagoras!
Bài viết dịch từ Saving whales using Pythagoras của tác giả Chris Budd. Xem bản tiếng Anh tại https://plus.maths.o...sing-pythagoras
