Cho $x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2\ge 12$. Tìm min: $P=\frac{x^6}{\sqrt{y^3+1}}+\frac{y^6}{\sqrt{z^3+1}}+\frac{z^6}{\sqrt{x^3+1}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nasho_god: 13-06-2021 - 22:18
Cho $x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2\ge 12$. Tìm min: $P=\frac{x^6}{\sqrt{y^3+1}}+\frac{y^6}{\sqrt{z^3+1}}+\frac{z^6}{\sqrt{x^3+1}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nasho_god: 13-06-2021 - 22:18
Dự đoán đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=2$. Ta sẽ cm $P\geq 64$
Theo bđt AM - GM: $\sqrt{y^{3}+1}=\sqrt{(y+1)(y^{2}-y+1)} \leq \frac{y^{2}+2}{2} \Rightarrow P\geq 2\sum \frac{x^{6}}{y^{2}+2}$
Theo bđt Cauchy - Schwarz: $\sum \frac{x^{6}}{y^{2}+2} \geq \frac{(\sum x^{3})^{2}}{\sum x^{2}+6}$
Theo bđt Holder: $(2^{3}+2^{3}+2^{3})(\sum x^{3})^{2} \geq (\sum 2x^{2})^{3} \Rightarrow (\sum x^{3})^{2} \geq \frac{(\sum x^{2})^{3}}{3}$
$P\geq \frac{2(\sum x^{2})^{3}}{3(\sum x^{2}+6)}$
Đặt $t=\sum x^{2}$ ($t\geq 12$). Ta cần cm: $t^{3} \geq 96(t+6) \Leftrightarrow (t-12)(t^{2}+12t-4) \geq 0$ (đúng với $t\geq 12$)
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh