Đến nội dung

Hình ảnh

Làm sao để tìm được $1$ ma trận biểu diễn và biểu thức của phép quay này ?

* * * * * 1 Bình chọn rotation iuh/@duyenpc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Trong mặt phẳng $Oxy,$ phép quay mỗi vector quanh gốc tọa độ góc $\alpha$ ngược chiều kim đồng hồ là $1$ ánh xạ tuyến tính (như minh họa bên dưới). Làm sao để tìm được $1$ ma trận biểu diễn và biểu thức của phép quay này ?

Capture.PNG

Liệu ta có thể biểu diễn ảnh của tam giác ví dụ như $MNP$ cùng tọa độ điểm $M\left ( 1, 1 \right ), N\left ( 1, 2 \right ), P\left ( 3, 3 \right )$ qua phép quay với $\alpha= \frac{\pi}{4},$ ngoài ra còn biết thêm ở ứng dụng gì khác ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 27-06-2021 - 10:03


#2
Bhtrang

Bhtrang

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Bạn ơi bạn tìm được lời giải của bài này chưa ạ? Chia sẻ cho mk với, hic!!!



#3
ttlinhtinh

ttlinhtinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

https://en.wikipedia...Rotation_matrix



#4
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Giải.

Cho một vector bất kì, giả sử với $\left ( a, b \right )\in\mathbb{R}^{2}.$ Xét $\varphi$ là góc được xác định bởi $\left ( a, b \right )$ và trục $x.$ Ta có độ dài $r= \sqrt{a^{2}+ b^{2}}.$ Khi đó $a= r\cos\varphi, b= r\sin\varphi.$ Giả sử quay vector $\left ( a, b \right )$ quanh gốc tọa độ một góc $\alpha$ ngược theo chiều kim đồng hồ, có được vector $\left ( {a}', {b}' \right )$ thì

$${a}'= r\cos\left ( \varphi+ \alpha \right ), {b}'= r\sin\left ( \varphi+ \alpha \right )$$

Áp dụng công thức cộng, tìm được biểu thức phép quay

$${a}'= r\cos\varphi\cos\alpha- r\sin\varphi\sin\alpha= a\cos\alpha- b\sin\alpha$$

$${b}'= r\sin\varphi\cos\alpha+ r\cos\varphi\sin\alpha= a\sin\alpha+ b\cos\alpha$$

Có được $\begin{pmatrix} {a}'\\ {b}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ chứng tỏ phép quay $\left ( a, b \right )\mapsto\left ( {a}', {b}' \right )$ là một ánh xạ tuyến tính.

Vậy ma trận biểu diễn là $\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}.$

Áp dụng biểu thức phép quay trên với $\alpha= \frac{\pi}{4}.$ Ta có:

Ảnh của $M\left ( 1, 1 \right )$ là ${M}'\left ( 0, \sqrt{2} \right ).$

Ảnh của $N\left ( 1, 2 \right )$ là ${N}'\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right ).$

Ảnh của $P\left ( 3, 3 \right )$ là ${P}'\left ( 0, 3\sqrt{2} \right ).$

Capture.PNG







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: rotation, iuh/@duyenpc

3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh