Đến nội dung

Hình ảnh

$A=\frac{x-2}{z^{2}}+\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
olympiachapcanhuocmo

olympiachapcanhuocmo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Cho $\left\{\begin{matrix}x+y+z=xyz & & \\ x,y,z>1 & & \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN của : $A=\frac{x-2}{z^{2}}+\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}$

 

p/s:Khuyến khích sự bình luận , sáng tạo ! :D  :icon12:  :namtay


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-05-2021 - 19:48

                                                                                               


#2
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

Cho $\left\{\begin{matrix}x+y+z=xyz & & \\ x,y,z>1 & & \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN của : $A=\frac{x-2}{z^{2}}+\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}$

 

p/s:Khuyến khích sự bình luận , sáng tạo ! :D  :icon12:  :namtay

Để ý rằng $x,y,z>1,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

$A+1=\sum \left (\frac{x-2}{z^2}+\frac{1}{z} \right )=\sum \frac{(x-1)+(z-1)}{z^2}=\sum (x-1)\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2} \right )\geq 2\sum\frac{x-1}{xz}=2.\frac{xy+yz+xz-x-y-z}{xyz} =2\left ( 1-\frac{x+y+z}{xyz} \right )$

Có $xyz(x+y+z)\leq \frac{(xy+yz+xz)^2}{3}\rightarrow \frac{x+y+z}{xyz}\leq \frac{1}{3}$

Từ đó $A+1\geq \frac{4}{3}\rightarrow A\geq \frac{1}{3}$

Kết luận $A_{min}=\frac{1}{3}\leftrightarrow x=y=z=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-05-2021 - 19:48

"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#3
olympiachapcanhuocmo

olympiachapcanhuocmo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Vậy tại sao lại có lời giải như vậy ạ ? :wacko:


                                                                                               


#4
30 minutes

30 minutes

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

đúng rồi, ý tưởng ntn hả anh? :(


:wub:  Nguyễn Thùy Dung  :wub: 


#5
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

Vậy tại sao lại có lời giải như vậy ạ ? :wacko:

 

đúng rồi, ý tưởng ntn hả anh? :(

tìm điểm rơi của bài toán rồi xác định phương pháp thôi



#6
olympiachapcanhuocmo

olympiachapcanhuocmo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Phương pháp gì vậy , có rất nhiều pp , bạn nói chung chung quá ! :(


                                                                                               


#7
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

Phương pháp gì vậy , có rất nhiều pp , bạn nói chung chung quá ! :(

sau khi xác định điểm rơi thì xem các phân thức bằng bao nhiêu, cộng trừ như thế nào, dùng các bđt để cực trị đúng bằng giả thiết



#8
olympiachapcanhuocmo

olympiachapcanhuocmo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Vẫn quá chung ! :angry:

Bạn có thể minh họa qua chính bài này không ? :like  :namtay  :icon12:  :D


                                                                                               


#9
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

Vẫn quá chung ! :angry:

Bạn có thể minh họa qua chính bài này không ? :like  :namtay  :icon12:  :D

sau khi tìm được điểm rơi nhờ bấm máy thì tính được $\frac{x-2}{z^{2}}$, rồi tìm phân thức đồng bậc với nó và có giá trị bằng nó, sau đó dùng AM-GM để đánh giá



#10
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

Nhân tiện giải luôn bài này nhé:

$\frac{a+2}{9c}+\frac{b+2}{9a}+\frac{c+2}{9b}\leq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 03-12-2015 - 20:28


#11
olympiachapcanhuocmo

olympiachapcanhuocmo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Tôi thấy bài này phải sử dụng bất đẳng thức hoán vị để chuyển phần chứng minh về dang : $\sum_{cyc}^{}\frac{x-2}{x^{2}}$ sau đó dùng cân bằng là OK !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi olympiachapcanhuocmo: 14-12-2015 - 18:45

                                                                                               


#12
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho $\left\{\begin{matrix}x+y+z=xyz & & \\ x,y,z>1 & & \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN của : $A=\frac{x-2}{z^{2}}+\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}$

 

p/s:Khuyến khích sự bình luận , sáng tạo ! :D  :icon12:  :namtay

Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$ thì $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$

Khi đó $P=\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{c^2(1-a)}{a}+a(1-a)\geqslant 2c(1-a)$

$\frac{a^2(1-b)}{b}+b(1-b)\geqslant 2a(1-b)$

$\frac{b^2(1-c)}{c}+c(1-c)\geqslant 2b(1-c)$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $(\frac{c^2(1-a)}{a}-c^2)+(\frac{a^2(1-b)}{b}-a^2)+(\frac{b^2(1-c)}{c}-b^2)\geqslant a+b+c-2(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}-2(ab+bc+ca)=\sqrt{3}-2$

hay $\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}\geqslant \sqrt{3}-2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-05-2021 - 19:48

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh