Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các số nguyên dương $a;b$ sao cho $(2^{a}-a;2^{b}-b)=1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

1) Tìm tất cả các số nguyên dương $a;b$ sao cho $(2^{a}-a;2^{b}-b)=1$

 

2)Tìm tất cả các số nguyên dương $a;b$ sao cho $(2^{a}-b;2^{b}-a)=1$

 

3) Cho $x$ là một số nguyên dương. Tìm hai số nguyên dương $a;b$ sao cho $(x^{a}-a;x^{b}-b)=1$ với mỗi số $x$ nguyên dương cho trước và cố định.

 

4) Cho hàm số $f(x):\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ và  hàm số $g(x):\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$. Cho $x$ là một số nguyên dương. Tìm hai số nguyên dương $a;b$ sao cho $gcd(x^{a}-f(a);x^{b}-g(b))=1$ với mỗi số $x$ nguyên dương cho trước và cố định và 2 hàm số $f(x)$ và $g(x)$ cho trước và cố định.

P/S: Câu 4 em trình bày không biết có ổn không nếu không ổn mong mọi người góp ý giúp em; em xin cảm ơn ạ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 17-06-2021 - 10:33


#2
poset

poset

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 125 Bài viết

Tổng quát cho bài trên:
3) Cho $x$ là một số nguyên dương. Tìm hai số nguyên dương $a;b$ sao cho $(x^{a}-a;x^{b}-b)=1$ với mỗi số $x$ nguyên dương cho trước và cố định.

4) Cho hàm số $f(x):\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ và hàm số $g(x):\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$. Cho $x$ là một số nguyên dương. Tìm hai số nguyên dương $a;b$ sao cho $gcd(x^{a}-f(a);x^{b}-g(b))=1$ với mỗi số $x$ nguyên dương cho trước và cố định và 2 hàm số $f(x)$ và $g(x)$ cho trước và cố định.
P/S: Câu 4 em trình bày không biết có ổn không nếu không ổn mong mọi người góp ý giúp em; em xin cảm ơn ạ.

Một số vấn đề về đẳng thức mà bạn nên cẩn thận trước khi đưa giả thiết gì đó, nếu không sẽ xảy ra tình trạng hoặc là lời giải quá xấu hay tệ hơn là... mọi người nhìn nhau và ra về vì không có bất cứ ý tưởng nào
1. Số nguyên tố và mọi thứ liên quan tới số nguyên tố, tệ hơn là những hàm đòi hỏi phải lôi hết ước số nguyên tố của $n$ để tính, ví dụ hàm Euler, hàm số/tổng ước số nguyên tố,... Thực ra là cái này cũng không đến nỗi quá khó (so với những cái dưới), ra giả thiết cũng vui vẻ nhưng không cẩn thận thì mình thấy rất thừa và buồn ngủ.
2. Hàm đa thức có bậc và số biến $>=4$, không có cấu trúc cụ thể cho cái này nên không cẩn thận là rất khó.
3. Hàm mũ và mọi thứ liên quan hay lớn hơn hàm mũ, tệ hơn là có đến hai hàm như vậy, ví dụ như số Fibonnacci, hàm giai thừa, $2^{2^n}+1$,... Ừ cái này không cẩn thận thì đúng là chì có nhìn nhau ??!! thôi.
4. Hàm đệ quy nhưng khổ nỗi nó không ra hàm đa thức hay ít ra là hàm mũ, như giả thiết Collazt. Ok, loạn hơn cái 2,3
5. Những hàm không thuộc về số học, như hàm $e^x, lnx, sinx,...$, $sin \pi x$ với $x$ vô tỷ,... Và mình sẽ coi những hàm $\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ chung chung là thuộc trường hợp này, vì nó không có cấu trúc số học gì cả. Ừ vì số học quá khó rồi, đừng nhét thêm cái gì của số thực vào nữa.
Ừ đó, bài của bạn dính khá nhiều mấy cái này. Còn bài 4 không có vấn đề gì về trình bày đâu, cơ mà bạn đã làm nó khó lên tới mức nó có thể chứng minh là ... không giải được. Cơ bản là quy về giải phương trình Diophantine, mà cái này thì không thể có một thuật toán để giải.
Đó là nói về đẳng thức còn bất đẳng thức hay bài toán chia hết nếu rộng rãi xíu thì thường không sao, nhưng để nó rắc rối quá cũng na ná trường hợp 1 thôi. Cơ mà nhìn chung là hạn chế đưa ra giả thiết số học

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 17-06-2021 - 07:45


#3
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Tổng quát hóa vấn đề là một giấc mơ mà ai nghiên cứu toán cũng thích cả :) Nhưng để tổng quát hóa thì phải có những bước đầu, những logic để tổng quát hóa.

Bạn đưa ra những ý tưởng, nhận xét nào liên quan, rồi người khác sẽ cùng suy nghĩ và đóng góp. Chứ đừng như Fermat đi thách thức hậu thế bằng vài câu viết bên lề giấy :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#4
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Tổng quát hóa vấn đề là một giấc mơ mà ai nghiên cứu toán cũng thích cả :) Nhưng để tổng quát hóa thì phải có những bước đầu, những logic để tổng quát hóa.

Bạn đưa ra những ý tưởng, nhận xét nào liên quan, rồi người khác sẽ cùng suy nghĩ và đóng góp. Chứ đừng như Fermat đi thách thức hậu thế bằng vài câu viết bên lề giấy :D

Dạ vâng anh :); nhưng thật sự thì em cũng chẳng có ý tưởng gì cho bài toán trên hay vấn đề tổng quát; điều quan trong nhất vẫn là bài toán 1; 2 và 3 chứ em nghĩ bài 4 cũng hơi quá :)) đây chỉ là những suy nghĩ ban đầu của em; em không nghĩ là sẽ có ai đó giải và cũng chuẩn bị cho việc là bị gọi là "thách thức" :)) nhưng thật sự là em chẳng có ý tưởng gì; em chỉ muốn làm cho bài toán trở nên tổng quát nhất có thể ( các anh có thể xem đây là sở thích của em ạ :)) ) . Thứ nhất em muốn hỏi ý kiến mọi người về các bài trên không chỉ bằng góc nhìn toán sơ cấp mà còn là cao cấp vì có thể những cái em nghĩ ra đã có trong toán cao cấp từ lâu rồi; em đăng vào box olympic chỉ là do đề bài quá sơ cấp.Thứ hai em cũng muốn trữ bài để sau này bản thân có thể tìm lại và cũng muốn biết những vấn đề này dễ khó ra sao ; một phần đúng như anh perfectsrong nói em đang "thách thức hậu thế" :)) nhưng thật ra một phần là em không biết làm thật và thắc mắc chứ cũng không phải thách tức đâu ạ :).

Còn về việc anh nói tổng quát hóa thì phải có những bước đầu, những logic để tổng quát hóa thì anh có thể nói rõ hơn việc này được không ạ; do khi tổng quát hóa em thường thêm biến số vào ;đưa về các câu hỏi như về sự tồn tại; tồn tại vô hạn; tìm các số thỏa điều kiện cho trước; tìm ra tất cả quy luật của biến số x để một mệnh đề là đúng. Mong anh trả lời giúp em; em xin cảm ơn ạ.

P/S: Nếu mọi người góp ý gì thì cứ nói em sẽ cố gắng cải thiện; chỉnh sửa nọi thứ; em xin cảm ơn ạ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 17-06-2021 - 10:33


#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Em có thể coi một ví dụ ở đây :) Ví dụ này được đưa vào tuyển tập "Chuyên đề số học VMF" đó :D

https://diendantoanh...right-vdots-3n/

https://diendantoanh...bnxky-vdots-pn/


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
poset

poset

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 125 Bài viết

Dạ vâng anh :); nhưng thật sự thì em cũng chẳng có ý tưởng gì cho bài toán trên hay vấn đề tổng quát; điều quan trong nhất vẫn là bài toán 1; 2 và 3 chứ em nghĩ bài 4 cũng hơi quá :)) đây chỉ là những suy nghĩ ban đầu của em; em không nghĩ là sẽ có ai đó giải và cũng chuẩn bị cho việc là bị gọi là "thách thức" :)) nhưng thật sự là em chẳng có ý tưởng gì; em chỉ muốn làm cho bài toán trở nên tổng quát nhất có thể ( các anh có thể xem đây là sở thích của em ạ :)) ) . Thứ nhất em muốn hỏi ý kiến mọi người về các bài trên không chỉ bằng góc nhìn toán sơ cấp mà còn là cao cấp vì có thể những cái em nghĩ ra đã có trong toán cao cấp từ lâu rồi; em đăng vào box olympic chỉ là do đề bài quá sơ cấp.Thứ hai em cũng muốn trữ bài để sau này bản thân có thể tìm lại và cũng muốn biết những vấn đề này dễ khó ra sao ; một phần đúng như anh perfectsrong nói em đang "thách thức hậu thế" :)) nhưng thật ra một phần là em không biết làm thật và thắc mắc chứ cũng không phải thách tức đâu ạ :).

Còn về việc anh nói tổng quát hóa thì phải có những bước đầu, những logic để tổng quát hóa thì anh có thể nói rõ hơn việc này được không ạ; do khi tổng quát hóa em thường thêm biến số vào ;đưa về các câu hỏi như về sự tồn tại; tồn tại vô hạn; tìm các số thỏa điều kiện cho trước; tìm ra tất cả quy luật của biến số x để một mệnh đề là đúng. Mong anh trả lời giúp em; em xin cảm ơn ạ.

P/S: Nếu mọi người góp ý gì thì cứ nói em sẽ cố gắng cải thiện; chỉnh sửa nọi thứ; em xin cảm ơn ạ.

Nếu không liên quan số học thì bạn cứ nghịch thoải mái, nhin chung là mọi người sẽ có thể thảo luận được, nhưng mà nếu đụng vào số học thì bạn nên biết:
-Biết liên hệ giữa các các đối tượng, như thấy $x$ thì nghĩ đến đa thức, thấy $2^x$ thì nghĩ đến Fibonacci.
-Mở rộng một cách từ từ, không phải đùng một cái ném ra cái hàm $\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$.
-Tìm hiểu giới hạn của Toán hiện nay và tốt hơn là của toán sơ cấp.
-Cảm nhận được cái nào sẽ có vẻ cực khó, cái nào có vẻ hay và giải được.
-Làm dễ bài toán nếu thấy quá khó, như bài trên bạn có thể thay vì tính gcd thì ta sẽ đánh giá gcd hay đánh giá số nghiệm.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh