Bài 1 : Cho tam giác ABC có các đường cao AD,BE,CF .M là trung điểm của BC.AM cắt EF tại N .X là chân đường vuông góc hạ từ N xuống BC ( X thuộc BC) .Y,Z là hình chiếu vuông góc hạ từ X xuống AB,AC.B',C' lần lượt là giao điểm của XZ với AB và XY với AC.Chứng minh AM luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB'C'.
AM luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB'C'.
#1
Đã gửi 16-06-2021 - 22:27
- Hoang72 yêu thích
#2
Đã gửi 17-06-2021 - 10:20
Kí hiệu góc ABC là B, ACB là C.
Xét trường hợp $\widehat{B},{C}$ đều nhọn. Các TH khác cm tương tự.
Do AN là đường đối trung của tam giác AEF nên ta có $\frac{SE}{SB}=\frac{sinSBE}{sinSEB}=\frac{sinC}{cosB};\frac{TF}{TC}=\frac{sinB}{cosC}\Rightarrow \frac{sinCcosC}{sinBcosB}=\frac{SE}{TF}.\frac{TC}{SB}=\frac{SE}{TF}.\frac{GC}{GB}=\frac{SE}{TF}.\frac{DC}{DB}=\frac{SE}{TF}.\frac{cotC}{cotB}\Rightarrow \frac{SE}{TF}=\frac{sin^2C}{sin^2B}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{AE^2}{AF^2}=\frac{NE}{NF}\Rightarrow \frac{NE}{NF}=\frac{SE-NE}{TF-NF}=\frac{SN}{TN}=\frac{BX}{CX}$.
Suy ra AX là đường đối trung của tam giác ABC. Suy ra AM, AX đẳng giác trong góc BAC.
Mặt khác dễ thấy $AX\perp B'C'$ nên AM đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AB'C'$.
- ChiMiwhh, Mrwhite320064 và dangkhanhk7 thích
#3
Đã gửi 17-06-2021 - 10:33
Bài 2 : Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC.D là điểm di động bất kì trên BC .Đường tròn (D;DA) cắt lại CA,AB tại E,F. Gọi M,N là trung điểm của BE,CF. Chứng minh rằng D,M,N,O đồng viên
Kẻ đường kính EE', FF' của (D).
E'B cắt lại (D) tại G.
GF' cắt AE tại C'.
Áp dụng định lý Pascal cho lục giác GE'EAFF' ta có B, D, C' thẳng hàng.
Suy ra $C',C\in AE\cap BD$ nên $C'\equiv C'$.
Từ đó F', C, G thẳng hàng.
Suy ra DM // GE', DN // GF'.
Ta có $\angle MDN=\angle E'GF'=\angle BAC=\angle MDN$ (Do các cung E'F', EF bằng nhau) nên M, O, D, N đồng viên.
- Mrwhite320064 và dangkhanhk7 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học olympic
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh rằng AQ = APBắt đầu bởi Mrwhite320064, 30-05-2021 hình học olympic |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh