Đến nội dung

Hình ảnh

AM luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB'C'.

- - - - - hình học olympic

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Mrwhite320064

Mrwhite320064

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Bài 1 : Cho tam giác ABC có các đường cao AD,BE,CF .M là trung điểm của BC.AM cắt EF tại N .X là chân đường vuông góc hạ từ N xuống BC ( X thuộc BC) .Y,Z là hình chiếu vuông góc hạ từ X xuống AB,AC.B',C' lần lượt là giao điểm của XZ với AB và XY với AC.Chứng minh AM luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB'C'.

 
Bài 2 : Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC.D là điểm di động bất kì trên BC .Đường tròn (D;DA) cắt  lại CA,AB tại E,F. Gọi M,N là trung điểm của BE,CF. Chứng minh rằng D,M,N,O đồng viên
 
Bài 3: Cho tam giác ABC, D thay đổi trên phân giác ∠BAC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD,ABD cắt lại AB,AC tại E,F. EF cắt BC tại K. Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh K của tam giác KBE và tam giác KCF. Chứng minh rằng trung trực IJ đi qua một điểm cố định khi D thay đổi


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Kí hiệu góc ABC là B, ACB là C.

Xét trường hợp $\widehat{B},{C}$ đều nhọn. Các TH khác cm tương tự.

Do AN là đường đối trung của tam giác AEF nên ta có $\frac{SE}{SB}=\frac{sinSBE}{sinSEB}=\frac{sinC}{cosB};\frac{TF}{TC}=\frac{sinB}{cosC}\Rightarrow \frac{sinCcosC}{sinBcosB}=\frac{SE}{TF}.\frac{TC}{SB}=\frac{SE}{TF}.\frac{GC}{GB}=\frac{SE}{TF}.\frac{DC}{DB}=\frac{SE}{TF}.\frac{cotC}{cotB}\Rightarrow \frac{SE}{TF}=\frac{sin^2C}{sin^2B}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{AE^2}{AF^2}=\frac{NE}{NF}\Rightarrow \frac{NE}{NF}=\frac{SE-NE}{TF-NF}=\frac{SN}{TN}=\frac{BX}{CX}$.

Suy ra AX là đường đối trung của tam giác ABC. Suy ra AM, AX đẳng giác trong góc BAC.

Mặt khác dễ thấy $AX\perp B'C'$ nên AM đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AB'C'$.



#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

 

 

Bài 2 : Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC.D là điểm di động bất kì trên BC .Đường tròn (D;DA) cắt  lại CA,AB tại E,F. Gọi M,N là trung điểm của BE,CF. Chứng minh rằng D,M,N,O đồng viên

Kẻ đường kính EE', FF' của (D).

E'B cắt lại (D) tại G.

GF' cắt AE tại C'.

Áp dụng định lý Pascal cho lục giác GE'EAFF' ta có B, D, C' thẳng hàng.

Suy ra $C',C\in AE\cap BD$ nên $C'\equiv C'$.

Từ đó F', C, G thẳng hàng.

Suy ra DM // GE', DN // GF'.

Ta có $\angle MDN=\angle E'GF'=\angle BAC=\angle MDN$ (Do các cung E'F', EF bằng nhau) nên  M, O, D, N đồng viên.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học olympic

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh