Đến nội dung

Hình ảnh

$U,V$ là hai cơ sở của $\mathbb{R}^{3},$ tìm tọa độ của $x$ theo $U,V,$ tìm $P_{U\rightarrow V}$ và $P_{V\rightarrow U}$

* * * * * 1 Bình chọn iuh/@duyenpc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

(Câu 2). Trong không gian vector $\mathbb{R}^{3}$ cho hai hệ vectors

$$U= \left \{ u_{1}= \left ( 4, 2, 5 \right ), u_{2}= \left ( 2, 1, 3 \right ), u_{3}= \left ( 3, 1, 3 \right ) \right \}$$

$$V= \left \{ v_{1}= \left ( 5, 2, 1 \right ), v_{2}= \left ( 6, 2, 1 \right ), v_{3}= \left ( -1, 7, 4 \right ) \right \}$$

a. Chứng minh $U, V$ là hai cơ sở của $\mathbb{R}^{3}.$

b. Cho biết $x= \left ( 6, 2, -3 \right )$ tìm tọa độ của $x$ theo $V.$

c. Tìm $P_{U\rightarrow V}$ và $P_{V\rightarrow U}.$

d. Sử dụng công thức đổi tọa độ với $x$ theo $U.$



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Giải.

a. Ta kiểm tra $U$ có độc lập tuyến tính không. Xét tổ hợp tuyến tính

$$x_{1}u_{1}+ u_{2}u_{2}+ x_{3}u_{3}= 0$$

Điều này tương đương với phương trình ma trận

$$\begin{bmatrix} 4 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix}= 0$$

Ta lại xét thêm một ma trận bổ sung.

Dùng phép biến đổi sơ cấp với ma trận bổ sung đó

$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 4 & 2 & 3 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 0\\ 5 & 3 & 3 & 0 \end{array} \right ]\xrightarrow{R_{3}\leftrightarrow R_{1}}\left [ \begin{array}{rrr|r} 5 & 3 & 3 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 0\\ 4 & 2 & 3 & 0 \end{array} \right ]\xrightarrow[-2R_{2}+ R_{3}]{3R_{2}- R_{1}}\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ]\rightarrow\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ]$$

Vậy có được $x_{1}= x_{2}= x_{3}= 0.$

Nên $U$ độc lập tuyến tính.

Mặt khác $U$ chứa ba vectors độc lập tuyến tính trong không gian $\mathbb{R}^{3}$ nên $U$ là một cơ sở của $\mathbb{R}^{3}.$

Với $V$ tương tự. Xét tổ hợp tuyến tính

$$y_{1}v_{1}+ y_{2}v_{2}+ y_{3}v_{3}= 0$$

Tương đương với phương trình ma trận

$$\begin{bmatrix} 5 & 6 & -1\\ 2 & 2 & 7\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3} \end{bmatrix}= 0$$

Ta lại xét thêm một ma trận bổ sung.

Dùng phép biến đổi sơ cấp với ma trận bổ sung đó

$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 5 & 6 & -1 & 0\\ 2 & 2 & 7 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 0 \end{array} \right ]\xrightarrow{R_{3}\leftrightarrow R_{2}}\left [ \begin{array}{rrr|r} 5 & 6 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 0\\ 2 & 2 & 7 & 0 \end{array} \right ]\xrightarrow{2R_{2}- R_{3}}\left [ \begin{array}{rrr|r} 5 & 6 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ]$$

$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 5 & 6 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ]\xrightarrow{6R_{2}- 25R_{3}- R_{1}}\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ]\rightarrow\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ]$$

Vậy có được $y_{1}= y_{2}= y_{3}= 0.$

Nên $V$ độc lập tuyến tính.

Mặt khác $V$ chứa ba vectors độc lập tuyến tính trong không gian $\mathbb{R}^{3}$ nên $V$ là một cơ sở của $\mathbb{R}^{3}.$

b. Ta tìm tọa độ của $x$ theo $V.$ Xét tổ hợp tuyến tính

$$\alpha_{1}v_{1}+ \alpha_{2}v_{2}+ \alpha_{3}v_{3}= x$$

Điều này tương đương với phương trình ma trận

$$\begin{bmatrix} 5 & 6 & -1\\ 2 & 2 & 7\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 6\\ 2\\ -3 \end{bmatrix}$$

Ta lại xét thêm một ma trận bổ sung.

Dùng phép biến đổi sơ cấp với ma trận bổ sung đó

$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 5 & 6 & -1 & 6\\ 2 & 2 & 7 & 2\\ 1 & 1 & 4 & -3 \end{array} \right ]\xrightarrow{R_{3}\leftrightarrow R_{2}}\left [ \begin{array}{rrr|r} 5 & 6 & -1 & 6\\ 1 & 1 & 4 & -3\\ 2 & 2 & 7 & 2 \end{array} \right ]\xrightarrow{2R_{2}- R_{3}}\left [ \begin{array}{rrr|r} 5 & 6 & -1 & 6\\ 1 & 1 & 4 & -3\\ 0 & 0 & 1 & -8 \end{array} \right ]$$

$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 5 & 6 & -1 & 6\\ 1 & 1 & 4 & -3\\ 0 & 0 & 1 & -8 \end{array} \right ]\xrightarrow{6R_{2}- 25R_{3}- R_{1}}\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 176\\ 1 & 1 & 4 & -3\\ 0 & 0 & 1 & -8 \end{array} \right ]$$

Vậy có được $\alpha_{1}= 174, \alpha_{3}= -8, \alpha_{2}= -3- \alpha_{1}- 4\alpha_{3}= -145.$ Nên $\left [ x \right ]_{V}= \begin{bmatrix} 176\\ -147\\ -8 \end{bmatrix}.$

c. Theo công thức, có được các ma trận chuyển cơ sở cần tìm

$$P_{U\rightarrow V}= P_{U\rightarrow E}\cdot P_{E\rightarrow V}= \left ( P_{E\rightarrow U} \right )^{-1}\cdot P_{E\rightarrow V}=$$

$$= \begin{bmatrix} 4 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & 3 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 5 & 6 & -1\\ 2 & 2 & 7\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 5 & 5 & 17\\ -9 & -10 & -12\\ 1 & 2 & -15 \end{bmatrix}$$

$$P_{V\rightarrow U}= P_{V\rightarrow E}\cdot P_{E\rightarrow U}= \left ( P_{E\rightarrow V} \right )^{-1}\cdot P_{E\rightarrow U}=$$

$$= \begin{bmatrix} 5 & 6 & -1\\ 2 & 2 & 7\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 4 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -174 & -109 & -110\\ 147 & 92 & 93\\ 8 & 5 & 5 \end{bmatrix}$$

d. Dùng công thức đổi tọa độ, có được

$$\left [ x \right ]_{U}= P_{U\rightarrow V}\cdot\left [ x \right ]_{V}= \begin{bmatrix} 5 & 5 & 17\\ -9 & -10 & -12\\ 1 & 2 & -15 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 176\\ -147\\ -8 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 9\\ -18\\ 2 \end{bmatrix}$$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 17-06-2021 - 15:57






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: iuh/@duyenpc

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh