Chủ đề này có 3 trả lời

[doraemon123]

Cho 3 số thực không âm a,b,c khác nhau từng đôi một. Chứng minh:

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{4}{ab+bc+ac}$

[MoMo123]

Mình có cách này không biết có được không

Không mất tính tổng quát, giả sử$ a=Min{{a,b,c}}$

Đặt $b=x+a$

       $c=a+y$

$\rightarrow b-c=x-y$

$ab+bc+ca=3a^2+2a(x+y)+xy\geq xy$

$\rightarrow VP\leq \frac{4}{xy}$

-> Ta cần chứng minh

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x-y)^2} \geq \frac{4}{xy}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{(x-y)^2} \geq 4$

$\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}\geq 4$

Đến đây chắc bạn tự làm được rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-03-2018 - 17:57

[DOTOANNANG]

[attachment=33606:CodeCogsEqn (15).gif]

[KietLW9]

Cho 3 số thực không âm a,b,c khác nhau từng đôi một. Chứng minh:

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{4}{ab+bc+ac}$

Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$

 

Khi đó $VT\geq \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{(a-b)^{2}}=\frac{2}{ab}+\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}b^{2}}+\frac{1}{(a-b)^{2}}\geq \frac{4}{ab}\geq \frac{4}{bc+ca+ab}.$

Đẳng thức xảy ra khi $(1+\sqrt{5},-1+\sqrt{5},0)$ và các hoán vị