Đến nội dung

Hình ảnh

$(a+1)(b+1)(c+1)\ge 4abc$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
hltkhang

hltkhang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

$\textrm{Cho } a,b,c \textrm{ là các số thực dương thỏa mãn: } a\le 1; b\le 2; a+b+c=6.$

$\textrm{Chứng minh bất đẳng thức } (a+1)(b+1)(c+1)\ge 4abc$



#2
ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

$\textrm{Cho } a,b,c \textrm{ là các số thực dương thỏa mãn: } a\le 1; b\le 2; a+b+c=6.$

$\textrm{Chứng minh bất đẳng thức } (a+1)(b+1)(c+1)\ge 4abc$

Tks Kiệt

Dồn biến về c

Cụ thể

Bđt cần cm tương đương

$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$ (chỉ thay giả thiết vào)

AMGM

$8ab\leq (2a+b)^2\leq (7-c)^2$

Dễ thấy $c\geq 3$

Nên 

$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq (\frac{(7-c)^2}{8})(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$

hay $-3c^3+35c^2-113c+105\geq 0$

đúng với $c\geq 3$

Xảy ra khi $(a,b,c)=(1,2,3)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiMiwhh: 15-05-2021 - 09:38


#3
hltkhang

hltkhang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Dồn biến về c

Cụ thể

Bđt cần cm tương đương

$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$ (chỉ thay giả thiết vào)

Lại có $(a-1)(b-2)\leq 0$ hay $ab\leq 2a+b-2\leq 1+6-c-2=5-c$

Dễ thấy $c\geq 3$

Nên 

$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq (5-c)(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$

hay $c^2-5c+6\geq 0$

đúng với $c\geq 3$

Xảy ra khi $(a,b,c)=(1,2,3)$

thế còn cách đặt x=1-a, y=1-b thì sao cơ



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Dồn biến về c

Cụ thể

Bđt cần cm tương đương

$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$ (chỉ thay giả thiết vào)

Lại có $(a-1)(b-2)\leq 0$ hay $ab\leq 2a+b-2\leq 1+6-c-2=5-c$

Dễ thấy $c\geq 3$

Nên 

$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq (5-c)(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$

hay $c^2-5c+6\geq 0$

đúng với $c\geq 3$

Xảy ra khi $(a,b,c)=(1,2,3)$

Chỗ này hình như bị ngược dấu?


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#5
ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Chỗ này hình như bị ngược dấu?

a sửa r nhé :))

ko để í lắm



#6
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$\textrm{Cho } a,b,c \textrm{ là các số thực dương thỏa mãn: } a\le 1; b\le 2; a+b+c=6.$

$\textrm{Chứng minh bất đẳng thức } (a+1)(b+1)(c+1)\ge 4abc$

Ta cần chứng minh: $ab(1-3c)+c(6-c)+7\geqslant 0$

Mà ta có: $(a-1)(b-2)\geqslant 0\Leftrightarrow ab\geqslant b+2a-2=4-c+a=4-c+6-c-b\geqslant 8-2c$

Như vậy, ta cần chỉ ra $(8-2c)(1-3c)+c(6-c)+7\geqslant 0\Leftrightarrow 5(c-3)(c-1)\geqslant 0(true)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=1;b=2;c=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-05-2021 - 21:43

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#7
ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Ta cần chứng minh: $ab(1-3c)+c(6-c)+7\geqslant 0$

Mà ta có: $(a-1)(b-2)\geqslant 0\Leftrightarrow ab\geqslant b+2a-2=4-c+a=4-c+6-c-b\geqslant 8-2c$

Như vậy, ta cần chỉ ra $(8-2c)(1-3c+c(6-c)+7\geqslant 0\Leftrightarrow 5(c-3)(c-1)\geqslant 0(true)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=1;b=2;c=3$

ayyyy

$1-3c<0$ :)



#8
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

ayyyy

$1-3c<0$ :)

Uầy! Không để ý


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#9
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Tks Kiệt

Dồn biến về c

Cụ thể

Bđt cần cm tương đương

$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$ (chỉ thay giả thiết vào)

AMGM

$8ab\leq (2a+b)^2\leq (7-c)^2$

Dễ thấy $c\geq 3$

Nên 

$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq (\frac{(7-c)^2}{8})(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$

hay $-3x^3+35x^2-113x+105\geq 0$

đúng với $c\geq 3$

Xảy ra khi $(a,b,c)=(1,2,3)$

2 chỗ này em lại thấy có vấn đề???


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#10
ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

2 chỗ này em lại thấy có vấn đề???

Giải thích đi, a ko hiểu 



#11
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Giải thích đi, a ko hiểu 

À không em nhầm tí


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#12
hltkhang

hltkhang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

thế còn cách đặt x=1-a, y=1-b thì sao cơ

um, có làm được cách này không bạn



#13
ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

um, có làm được cách này không bạn

Cách này hình như đặt

$(x,y,z)=(1-a,2-b,3-c)$ hay sao í

nhưng mk ko biết được ko, bạn thử xem



#14
hltkhang

hltkhang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Cách này hình như đặt

$(x,y,z)=(1-a,2-b,3-c)$ hay sao í

nhưng mk ko biết được ko, bạn thử xem

cách này đúng đó, nhưng mk lại quên mất các bước làm

* dù thầy mk có chỉ một lần rồi :( *



#15
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$\textrm{Cho } a,b,c \textrm{ là các số thực dương thỏa mãn: } a\le 1; b\le 2; a+b+c=6.$

$\textrm{Chứng minh bất đẳng thức } (a+1)(b+1)(c+1)\ge 4abc$

Để em bù cho anh một cách)): :icon6:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\geqslant 4\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{7}{abc}\geqslant 3$

Áp dụng AM-GM, ta được: $6=(a+\frac{b}{2})+(\frac{b}{2}+\frac{c}{3})+\frac{2c}{3}\geqslant 2\sqrt{\frac{ab}{2}}+2\sqrt{\frac{bc}{6}}+2\sqrt{\frac{c^2}{9}}\geqslant 6\sqrt[3]{\sqrt{\frac{ab^2c^3}{108}}}\Rightarrow ab^2c^3\leqslant 108$

Mà $a^2b\leqslant 2$ nên $(abc)^3\leqslant 216\Leftrightarrow abc\leqslant 6$

Tiếp tục áp dụng AM-GM, ta được: $3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})+(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{6}{abc}}+(2+\frac{1}{2})\geqslant\frac{11}{2}\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{11}{6}$

Như vậy ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{7}{abc}\geqslant \frac{11}{6}+\frac{7}{6}=3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=1;b=2;c=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 10-05-2021 - 08:32

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#16
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

cách này đúng đó, nhưng mk lại quên mất các bước làm

* dù thầy mk có chỉ một lần rồi :( *

Tình cờ nhìn thấy cách đặt ẩn như bạn

Screenshot (100).png


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh