$\textrm{Cho } a,b,c \textrm{ là các số thực dương thỏa mãn: } a\le 1; b\le 2; a+b+c=6.$
$\textrm{Chứng minh bất đẳng thức } (a+1)(b+1)(c+1)\ge 4abc$
$\textrm{Cho } a,b,c \textrm{ là các số thực dương thỏa mãn: } a\le 1; b\le 2; a+b+c=6.$
$\textrm{Chứng minh bất đẳng thức } (a+1)(b+1)(c+1)\ge 4abc$
Tks Kiệt
Dồn biến về c
Cụ thể
Bđt cần cm tương đương
$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$ (chỉ thay giả thiết vào)
AMGM
$8ab\leq (2a+b)^2\leq (7-c)^2$
Dễ thấy $c\geq 3$
Nên
$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq (\frac{(7-c)^2}{8})(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$
hay $-3c^3+35c^2-113c+105\geq 0$
đúng với $c\geq 3$
Xảy ra khi $(a,b,c)=(1,2,3)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiMiwhh: 15-05-2021 - 09:38
Dồn biến về c
Cụ thể
Bđt cần cm tương đương
$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$ (chỉ thay giả thiết vào)
Lại có $(a-1)(b-2)\leq 0$ hay $ab\leq 2a+b-2\leq 1+6-c-2=5-c$
Dễ thấy $c\geq 3$
Nên
$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq (5-c)(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$
hay $c^2-5c+6\geq 0$
đúng với $c\geq 3$
Xảy ra khi $(a,b,c)=(1,2,3)$
thế còn cách đặt x=1-a, y=1-b thì sao cơ
Dồn biến về c
Cụ thể
Bđt cần cm tương đương
$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$ (chỉ thay giả thiết vào)
Lại có $(a-1)(b-2)\leq 0$ hay $ab\leq 2a+b-2\leq 1+6-c-2=5-c$
Dễ thấy $c\geq 3$
Nên
$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq (5-c)(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$
hay $c^2-5c+6\geq 0$
đúng với $c\geq 3$
Xảy ra khi $(a,b,c)=(1,2,3)$
Chỗ này hình như bị ngược dấu?
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Chỗ này hình như bị ngược dấu?
a sửa r nhé
ko để í lắm
$\textrm{Cho } a,b,c \textrm{ là các số thực dương thỏa mãn: } a\le 1; b\le 2; a+b+c=6.$
$\textrm{Chứng minh bất đẳng thức } (a+1)(b+1)(c+1)\ge 4abc$
Ta cần chứng minh: $ab(1-3c)+c(6-c)+7\geqslant 0$
Mà ta có: $(a-1)(b-2)\geqslant 0\Leftrightarrow ab\geqslant b+2a-2=4-c+a=4-c+6-c-b\geqslant 8-2c$
Như vậy, ta cần chỉ ra $(8-2c)(1-3c)+c(6-c)+7\geqslant 0\Leftrightarrow 5(c-3)(c-1)\geqslant 0(true)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=1;b=2;c=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-05-2021 - 21:43
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Ta cần chứng minh: $ab(1-3c)+c(6-c)+7\geqslant 0$
Mà ta có: $(a-1)(b-2)\geqslant 0\Leftrightarrow ab\geqslant b+2a-2=4-c+a=4-c+6-c-b\geqslant 8-2c$
Như vậy, ta cần chỉ ra $(8-2c)(1-3c+c(6-c)+7\geqslant 0\Leftrightarrow 5(c-3)(c-1)\geqslant 0(true)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=1;b=2;c=3$
ayyyy
$1-3c<0$
ayyyy
$1-3c<0$
Uầy! Không để ý
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Tks Kiệt
Dồn biến về c
Cụ thể
Bđt cần cm tương đương
$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$ (chỉ thay giả thiết vào)
AMGM
$8ab\leq (2a+b)^2\leq (7-c)^2$
Dễ thấy $c\geq 3$
Nên
$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq (\frac{(7-c)^2}{8})(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$
hay $-3x^3+35x^2-113x+105\geq 0$
đúng với $c\geq 3$
Xảy ra khi $(a,b,c)=(1,2,3)$
2 chỗ này em lại thấy có vấn đề???
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 chỗ này em lại thấy có vấn đề???
Giải thích đi, a ko hiểu
thế còn cách đặt x=1-a, y=1-b thì sao cơ
um, có làm được cách này không bạn
um, có làm được cách này không bạn
Cách này hình như đặt
$(x,y,z)=(1-a,2-b,3-c)$ hay sao í
nhưng mk ko biết được ko, bạn thử xem
$\textrm{Cho } a,b,c \textrm{ là các số thực dương thỏa mãn: } a\le 1; b\le 2; a+b+c=6.$
$\textrm{Chứng minh bất đẳng thức } (a+1)(b+1)(c+1)\ge 4abc$
Để em bù cho anh một cách)):
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\geqslant 4\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{7}{abc}\geqslant 3$
Áp dụng AM-GM, ta được: $6=(a+\frac{b}{2})+(\frac{b}{2}+\frac{c}{3})+\frac{2c}{3}\geqslant 2\sqrt{\frac{ab}{2}}+2\sqrt{\frac{bc}{6}}+2\sqrt{\frac{c^2}{9}}\geqslant 6\sqrt[3]{\sqrt{\frac{ab^2c^3}{108}}}\Rightarrow ab^2c^3\leqslant 108$
Mà $a^2b\leqslant 2$ nên $(abc)^3\leqslant 216\Leftrightarrow abc\leqslant 6$
Tiếp tục áp dụng AM-GM, ta được: $3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})+(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{6}{abc}}+(2+\frac{1}{2})\geqslant\frac{11}{2}\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{11}{6}$
Như vậy ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{7}{abc}\geqslant \frac{11}{6}+\frac{7}{6}=3$
Đẳng thức xảy ra khi $a=1;b=2;c=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 10-05-2021 - 08:32
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
cách này đúng đó, nhưng mk lại quên mất các bước làm
* dù thầy mk có chỉ một lần rồi *
Tình cờ nhìn thấy cách đặt ẩn như bạn
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh