(Câu 2). Trong không gian vector $\mathbb{R}^{3}$ cho hai hệ vectors
$$U= \left \{ u_{1}= \left ( -2, 2, 5 \right ), u_{2}= \left ( 2, 1, 3 \right ), u_{3}= \left ( 3, 1, 3 \right ) \right \}$$
$$V= \left \{ v_{1}= \left ( -1, 2, 1 \right ), v_{2}= \left ( 0, 2, 1 \right ), v_{3}= \left ( -1, 7, 4 \right ) \right \}$$
a. Chứng minh $U, V$ là hai cơ sở của $\mathbb{R}^{3}.$
b. Cho biết $x= \left ( 0, 2, -3 \right )$ tìm tọa độ của $x$ theo $V.$
c. Tìm $P_{U\rightarrow V}$ và $P_{V\rightarrow U}.$
d. Sử dụng công thức đổi tọa độ với $x$ theo $U.$
Giải.
a. Ta kiểm tra $U$ có độc lập tuyến tính không. Xét tổ hợp tuyến tính
$$x_{1}u_{1}+ u_{2}u_{2}+ x_{3}u_{3}= 0$$
Điều này tương đương với phương trình ma trận
$$\begin{bmatrix} -2 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix}= 0$$
Ta lại xét thêm một ma trận bổ sung.
Dùng phép biến đổi sơ cấp với ma trận bổ sung đó
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} -2 & 2 & 3 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 0\\ 5 & 3 & 3 & 0 \end{array} \right ]\xrightarrow{R_{3}\leftrightarrow R_{1}}\left [ \begin{array}{rrr|r} 5 & 3 & 3 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 0\\ -2 & 2 & 3 & 0 \end{array} \right ]\xrightarrow[-2R_{2}+ R_{3}]{3R_{2}- R_{1}}\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 0\\ -6 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ]\rightarrow\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ]$$
Vậy có được $x_{1}= x_{2}= x_{3}= 0.$
Nên $U$ độc lập tuyến tính.
Mặt khác $U$ chứa ba vectors độc lập tuyến tính trong không gian $\mathbb{R}^{3}$ nên $U$ là một cơ sở của $\mathbb{R}^{3}.$
Với $V$ tương tự. Xét tổ hợp tuyến tính
$$y_{1}v_{1}+ y_{2}v_{2}+ y_{3}v_{3}= 0$$
Tương đương với phương trình ma trận
$$\begin{bmatrix} -1 & 0 & -1\\ 2 & 2 & 7\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3} \end{bmatrix}= 0$$
Ta lại xét thêm một ma trận bổ sung.
Dùng phép biến đổi sơ cấp với ma trận bổ sung đó
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & -1 & 0\\ 2 & 2 & 7 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 0 \end{array} \right ]\xrightarrow{R_{3}\leftrightarrow R_{2}}\left [ \begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 0\\ 2 & 2 & 7 & 0 \end{array} \right ]\xrightarrow[2R_{2}- R_{3}]{-R_{1}}\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ]\rightarrow\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ]$$
Vậy có được $y_{1}= y_{2}= y_{3}= 0.$
Nên $V$ độc lập tuyến tính.
Mặt khác $V$ chứa ba vectors độc lập tuyến tính trong không gian $\mathbb{R}^{3}$ nên $V$ là một cơ sở của $\mathbb{R}^{3}.$
b. Ta tìm tọa độ của $x$ theo $V.$ Xét tổ hợp tuyến tính
$$\alpha_{1}v_{1}+ \alpha_{2}v_{2}+ \alpha_{3}v_{3}= x$$
Điều này tương đương với phương trình ma trận
$$\begin{bmatrix} -1 & 0 & -1\\ 2 & 2 & 7\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 2\\ -3 \end{bmatrix}$$
Ta lại xét thêm một ma trận bổ sung.
Dùng phép biến đổi sơ cấp với ma trận bổ sung đó
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & -1 & 0\\ 2 & 2 & 7 & 2\\ 1 & 1 & 4 & -3 \end{array} \right ]\xrightarrow{R_{3}\leftrightarrow R_{2}}\left [ \begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 4 & -3\\ 2 & 2 & 7 & 2 \end{array} \right ]\xrightarrow[2R_{2}- R_{3}]{-R_{1}}\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 4 & -3\\ 0 & 0 & 1 & -8 \end{array} \right ]$$
Vậy có được $\alpha_{3}= -8, \alpha_{1}= 8, \alpha_{2}= -3- \alpha_{1}- 4\alpha_{3}= 21.$ Nên $\left [ x \right ]_{V}= \begin{bmatrix} 8\\ 21\\ -8 \end{bmatrix}.$
c. Theo công thức, có được các ma trận chuyển cơ sở cần tìm
$$P_{U\rightarrow V}= P_{U\rightarrow E}\cdot P_{E\rightarrow V}= \left ( P_{E\rightarrow U} \right )^{-1}\cdot P_{E\rightarrow V}=$$
$$= \begin{bmatrix} -2 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & 3 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} -1 & 0 & -1\\ 2 & 2 & 7\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 5 & 5 & 17\\ -33 & -34 & -114\\ 25 & 26 & 87 \end{bmatrix}$$
$$P_{V\rightarrow U}= P_{V\rightarrow E}\cdot P_{E\rightarrow U}= \left ( P_{E\rightarrow V} \right )^{-1}\cdot P_{E\rightarrow U}=$$
$$= \begin{bmatrix} -1 & 0 & -1\\ 2 & 2 & 7\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} -2 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -6 & -7 & -8\\ -21 & -10 & -9\\ 8 & 5 & 5 \end{bmatrix}$$
d. Dùng công thức đổi tọa độ, có được
$$\left [ x \right ]_{U}= P_{U\rightarrow V}\cdot\left [ x \right ]_{V}= \begin{bmatrix} 5 & 5 & 17\\ -33 & -34 & -114\\ 25 & 26 & 87 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 8\\ 21\\ -8 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 9\\ -66\\ 50 \end{bmatrix}$$