(Câu 4). Cho ma trận $A= \begin{pmatrix} -3 & -2 & 2\\ 2 & 1 & -2\\ -2 & -1 & 2 \end{pmatrix}.$
a. Chéo hóa $A.$
b. Tính $A^{10}.$
Giải.
a. Ta có đa thức đặc trưng của $A:$
$$\left | A- \lambda I \right |\!=\!\left | \begin{pmatrix} -3 & -2 & 2\\ 2 & 1 & -2\\ -2 & -1 & 2 \end{pmatrix}- \lambda\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right |\!=\!\begin{vmatrix} -3- \lambda & -2 & 2\\ 2 & 1- \lambda & -2\\ -2 & -1 & 2- \lambda \end{vmatrix}\!=$$
$$= \left ( -3- \lambda \right )\left ( 1- \lambda \right )\left ( 2- \lambda \right )- 2\cdot 2\cdot 2+ 2\cdot 2\cdot\left ( -1 \right )+ \left ( 3+ \lambda \right )\cdot 2\cdot 1+$$
$$+ 2\cdot 2\left ( 2- \lambda \right )- 2\left ( 1- \lambda \right )\cdot\left ( -2 \right )= \left ( 1+ \lambda \right )\lambda\left ( 1- \lambda \right )$$
có ba nghiệm $\lambda_{1}= -1, \lambda_{2}= 0, \lambda_{3}= 1.$
Đây là những phần tử nằm trên đường chéo của dạng chéo hóa tương ứng với trị riêng của $A.$
Xét $\lambda_{1}= -1:$
$$A- \lambda I= \begin{pmatrix} -2 & -2 & 2\\ 2 & 2 & -2\\ -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}\xrightarrow[R_{2}+ R_{3}]{R_{2}+ R_{1}}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 2 & 2 & -2\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
$$\Rightarrow x_{3}= \alpha, x_{2}= -\alpha, x_{1}= x_{3}- x_{2}= 2\alpha\Rightarrow\left ( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right )= \left ( 2, -1, 1 \right )\Rightarrow\dim E\left ( -1 \right )= 1$$
Xét $\lambda_{2}= 0:$
$$A- \lambda I= \begin{pmatrix} -3 & -2 & 2\\ 2 & 1 & -2\\ -2 & -1 & 2 \end{pmatrix}\xrightarrow[R_{2}+ R_{3}]{2R_{2}+ R_{1}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\ 2 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
$$\Rightarrow x_{3}= \alpha, x_{1}= 2\alpha, x_{2}= 2x_{3}- 2x_{1}= -2\alpha\Rightarrow\left ( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right )= \left ( 2, -2, 1 \right )\Rightarrow\dim E\left ( 0 \right )= 1$$
Xét $\lambda_{3}= 1:$
$$A- \lambda I= \begin{pmatrix} -4 & -2 & 2\\ 2 & 0 & -2\\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}\xrightarrow[R_{2}/2]{2R_{3}- R_{1}}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1\\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$
$$\Rightarrow x_{3}= \alpha, x_{1}= \alpha, x_{2}= x_{3}- 2x_{1}= -\alpha\Rightarrow\left ( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right )= \left ( 1, -1, 1 \right )\Rightarrow\dim E\left ( 1 \right )= 1$$
Có được tổng số chiều của các không gian con riêng của ma trận cũng bằng $3$ nên chéo hóa được.
Ta suy ra vectors riêng là $v_{1}= \left ( 2, -1, 1 \right ), v_{2}= \left ( 2, -2, 1 \right ), v_{3}= \left ( 1, -1, 1 \right )$ tương ứng với mỗi cột của $P.$
Có được $P^{-1}AP= D$ với $P=\!\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1\\ -1 & -2 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\!, P^{-1}=\!\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\!, D=\!\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\!.$
b. Ta lại có $A= PDP^{-1}\Rightarrow A^{10}= PDP^{-1}PDP^{-1}P\ldots DP^{-1}= PD^{10}P^{-1}.$
Tìm được $A^{10}= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1\\ -1 & -2 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \left ( -1 \right )^{10} & 0 & 0\\ 0 & 0^{10} & 0\\ 0 & 0 & 1^{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$
