Chủ đề này có 1 trả lời

[Baoriven]

Cho tập hợp $A=\{1,2,3,\cdots,15\}$. Hỏi có bao nhiêu tập con $4$ phần tử sao cho không có $2$ phần tử nào liên tiếp?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 11-05-2021 - 09:00

[Nobodyv3]

Cho tập hợp $A=\{1,2,3,\cdots,15\}$. Hỏi có bao nhiêu tập con có $4$ phần tử sao cho không có $2$ phần tử nào liên tiếp?

Không mất tính tổng quát, gọi $X=\left \{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} \right \}$ với $1\leq x_{1}< x_{2}< x_{3}< x_{4}\leq 15$ là tập con 4 phần tử thỏa yêu cầu. Gọi $d$ là tổng các hiệu giữa các $x_{i}$ liên tiếp thì ta có $d=15-1=14$. Ta có hình minh họa sau:
$$\underset{d_{0}}{\underbrace{\cdots}}x_{1}\underset{d_{1}}{\underbrace{\cdots}}x_{2}\underset{d_{2}}{\underbrace{\cdots}}x_{3}\underset{d_{3}}{\underbrace{\cdots}}x_{4}\underset{d_{4}}{\underbrace{\cdots}}$$
được biểu diễn bởi:
$\left\{\begin{matrix} d_{0}+d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4} &=14 \\ d_{0},d_{4}\geq 0; d_{1,2,3}\geq 2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} d_{0}+d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4} &=8 \\ d_{i}\geq 0 & \end{matrix}\right.\left ( * \right )$
Số nghiệm của $\left ( * \right )$ chính là số tập con 4 phần tử thỏa yc đề bài và bằng $C_{8+5-1}^{5-1}=C_{12}^{4}=\boxed{495}$

----------------------------
Đề nghị mở rộng bài toán qua bài :
Tính số tập con khác rỗng của tập $A=\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ không chứa 2 số nguyên liên tiếp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 12-05-2021 - 08:16