Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}(\sqrt{y}+1)=\sqrt{x^2+y^2}+2 & \\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^2+4y-4}{2} & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}(\sqrt{y}+1)=\sqrt{x^2+y^2}+2 & \\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^2+4y-4}{2} & \end{matrix}\right.$
#1
Đã gửi 11-05-2021 - 21:27
#2
Đã gửi 12-05-2021 - 12:00
Cách giải của mình (nhức đầu thực sự ):
Từ (2): $x^2+4y-4=2(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})=x.\sqrt{4x-4}+y.\sqrt{4x-4}\leq \frac{x^2+4y-4}{2}+\frac{y^2+4x-4}{2}$
$\frac{x^2+4y-4}{2}\leq \frac{y^2+4x-4}{2}$
$x^2-y^2-4x+4y\leq 0$
$(x-y)(x+y-4)\leq 0$
Từ (1): $\Leftrightarrow \sqrt{x+y}-2=\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{xy+y^2}$
$\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2}=\frac{x(x-y)}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy+y^2}}$
$\Rightarrow (x-y)(x+y-4)\geq 0$
Từ đó, ta có: $\left\{\begin{matrix} x=2\sqrt{y-1} & \\ y=2\sqrt{x-1} & \\ (x-y)(x+y-4)=0 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x=y=2$
#3
Đã gửi 12-05-2021 - 21:58
Hình như chỗ $(x-y)(x+y-4)\geq 0$ hơi lấn cấn nhỉ ?
PT ở trên chỗ đó sửa lại ở mẫu là $\sqrt{x+y}+2$ là ra .
Thật ra cách làm không khó. Hầu như việc tìm mối quan hệ giữa $x$ và $y$ là không thể.
Thế nên cách tốt nhất là đánh giá.
Ở PT $(1)$ dĩ nhiên không khai thác được gì. Còn ở PT $(2)$ thì mấu chốt có vẻ rõ ràng hơn với sự xuất hiện của $\frac{x^2+4(y-1)}{2}$.
P/S: Mình chia sẻ hướng suy nghĩ để làm bài chứ không đứng ở vị trí người biết giải để nói. Đôi khi cảm giác và kinh nghiệm của bản thân cũng quan trọng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 13-05-2021 - 07:34
- Hunghcd yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#4
Đã gửi 31-10-2021 - 15:31
$\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2}=\frac{x(x-y)}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy+y^2}}$
$\Rightarrow (x-y)(x+y-4)\geq 0$
Ai giảng giúp em chỗ này với được không ạ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 31-10-2021 - 15:31
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#5
Đã gửi 10-12-2021 - 10:14
Ai giảng giúp em chỗ này với được không ạ?
Chỗ đấy phải là: $\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}=\frac{x(x-y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{xy+y^{2}}}$
Thì 2 mẫu đều >0 nên suy ra tích của 2 tử cũng phải >0
Dư Hấu
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh