Đến nội dung

Hình ảnh

$P=(a+b)^{2} +(a+b+4c)^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
kogioitoan

kogioitoan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
Cho số thực dương a,b,c thoả mãn $a+b+c=abc$. Tìm min của P=$(a+b)^{2} +(a+b+4c)^{2}$

#2
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Từ gt $\Rightarrow ab>1$ và $c=\frac{a+b}{ab-1}$

$P=(a+b)^{2}+\left[a+b+\frac{4(a+b)}{ab-1}\right]^{2}=(a+b)^{2}\left[1+\left(1+\frac{4}{ab-1}\right)^{2}\right]\geq 4ab\left[1+\left(1+\frac{4}{ab-1}\right)^{2}\right]$

Đặt $t=ab$ ($t>1$). Áp dụng bđt AM - GM:

$P=4t\left[1+\left(1+\frac{4}{t-1}\right)^{2}\right]\geq 4t\left(1+\frac{16}{t-1}\right)=4\left(t+\frac{16t}{t-1} \right)=4\left(t-1+\frac{16}{t-1}+17\right)\geq 4(8+17)=100$

Vậy min $P=100$. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\sqrt{5}$, $c=\frac{\sqrt{5}}{2}$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh