Cho hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới, đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$. Hỏi hàm số $y=f(f(x^2-1))$ có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 13
B. 12
C. 15
D. 11
Ngoài ra, mọi người có thể giúp mình tìm ra đa thức của đồ thị f(x) được không ạ ? Mình cảm ơn.
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=1$ hoặc $x=2$.
$y=f(f(x^2-1))\Rightarrow y'=2xf'(x^2-1)f'(f(x^2-1))$
Đặt $u(x)=f'(x^2-1)$ ; $v(x)=f'(f(x^2-1))$ $\Rightarrow y'=2x.u(x).v(x)$
$u(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2-1=-1\\x^2-1=1\\x^2-1=2 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt2\\x=\pm \sqrt3 \end{array}\right.$
Gọi giao điểm của đường thẳng $y=-1$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $A,B,C$ ($x_A< -1< x_B< x_C=2$)
giao điểm của đường thẳng $y=1$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $D,E,F,G$ ($x_D< -1< x_E< x_F<x_G$)
giao điểm của đường thẳng $y=2$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $H,I,K$ ($x_H< -1< x_I=1< x_K$)
Đặt $x_A+1=a$ ; $x_B+1=b$ ; $x_C+1=c$ ; ...
Ta có $y'=2x.u(x).v(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt b\\x=\pm \sqrt{e}\\x=\pm \sqrt2\\x=\pm \sqrt f\\x=\pm \sqrt 3\\x=\pm \sqrt g\\x=\pm \sqrt k \end{array}\right.$ (tất cả là $15$ giá trị của $x$)
Chú ý rằng mỗi khi $x$ đi qua bất kỳ giá trị nào trong $15$ giá trị kể trên thì chỉ có $x$ hoặc $u(x)$ hoặc $v(x)$ (một trong ba) đổi dấu mà thôi. Suy ra hàm số $y=f(f(x^2-1))$ có đúng $15$ điểm cực trị.
-----------------------------------------------------------------------------
Tìm đa thức $f(x)$ ? (Theo đồ thị, đa thức $f(x)$ là bậc chẵn)
Giả sử đa thức là bậc $6$, tức là $f(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx$ (vì $f(0)=0$)
và $f'(x)=6ax^5+5bx^4+4cx^3+3dx^2+2ex+f$
Ta có $\left\{\begin{matrix}f(1)=2\\f(2)=-1\\f'(1)=0\\f'(-1)=0\\f'(2)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+b+c+d+e+f=2\\64a+32b+16c+8d+4e+2f=-1\\6a+5b+4c+3d+2e+f=0\\-6a+5b-4c+3d-2e+f=0\\192a+80b+32c+12d+4e+f=0 \end{matrix}\right.$
Hệ này có vô số nghiệm. Nếu chọn $b=0$, ta có $f(x)=\frac{29}{148}\ x^6-\frac{93}{74}\ x^4-\frac{21}{37}\ x^3+\frac{285}{148}\ x^2+\frac{63}{37}\ x$.
(Nếu ban đầu giả sử đa thức bậc $4$ thì vô nghiệm, còn giả sử nó là bậc chẵn lớn hơn $6$ thì cũng vô số đa thức thỏa mãn)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-07-2021 - 13:45