Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$
CMR: $2(a^2b+b^2c+c^2a)+15\geq 3(a+b+c)+4(ab+bc+ca)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 14-05-2015 - 20:09
CMR: $2(a^2b+b^2c+c^2a)+15\geq 3(a+b+c)+4(ab+bc+ca)$
Bắt đầu bởi ducvipdh12, 14-05-2015 - 20:09
#1
Đã gửi 14-05-2015 - 20:09
ducvipdh12
-
- Thành viên
-
- 454 Bài viết
Sĩ quan
#2
Đã gửi 12-05-2021 - 10:29
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$
CMR: $2(a^2b+b^2c+c^2a)+15\geq 3(a+b+c)+4(ab+bc+ca)$
Ta có: $(a+b+c)^2\leqslant 3(a^2+b^2+c^2)=9\Rightarrow a+b+c\leqslant 3$
$\Rightarrow 5(a+b+c)\leqslant 15$ (1)
Mà ta lại có: $2(a^2b+b^2c+c^2a)+2(a+b+c)=2(a^2b+b)+2(b^2c+c)+2(c^2a+a)\geqslant 4(ab+bc+ca)$ (2)
Cộng theo vế (1) và (2), ta được: $2(a^2b+b^2c+c^2a)+15\geq 3(a+b+c)+4(ab+bc+ca)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
