$$\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{\sin x+ 8}{\rm d}x= {\it ?}$$
$$\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{\sin x+ 8}{\rm d}x= {\it ?}$$
#1
Đã gửi 26-06-2021 - 15:02
#2
Đã gửi 08-07-2021 - 17:20
Giải.
$$\int_{0}^{\pi}\!\frac{x\sin x}{\sin x+ 8}{\rm d}x\!\begin{matrix}\mathsf{symmetry}\\ =\\ \,\end{matrix}\!\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}\!\frac{\sin x}{\sin x+ 8}{\rm d}x= \frac{\pi^{2}}{2}- 4\pi\int_{0}^{\pi}\!\frac{{\rm d}x}{\sin x+ 8}\!\begin{matrix}\mathsf{Weierstrass}\\ =\\ \,\end{matrix}\!\frac{\pi^{2}}{2}- \pi\int_{0}^{\infty}\!\frac{{\rm d}x}{x^{2}+ x/4+ 1}$$
$$= \frac{\pi^{2}}{2}- \frac{64}{63}\pi\int_{0}^{\infty}\!\frac{{\rm d}x}{\left ( 8/3\sqrt{7} \right )^{2}\left ( x+ 1/8 \right )^{2}+ 1}= \frac{\pi^{2}}{2}- \frac{8}{3\surd 7}\pi\left [ \arctan\left ( \frac{8}{3\surd 7}\left ( x+ \frac{1}{8} \right ) \right ) \right ]_{0}^{\infty}=$$
$$= \left ( 1- \frac{8}{3\surd 7} \right )\frac{\pi^{2}}{2}+ \frac{8}{3\surd 7}\pi\arctan\left ( \frac{1}{3\surd 7} \right )= \frac{\pi^{2}}{2}- \frac{8}{3\surd 7}\pi\arctan\left ( 3\surd 7 \right )$$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: symmetry, weierstrass_substitution
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\it{9}+$ $$\geqq \frac{\it{9}}{\left ( \it{x}+ \it{y}+ \it{z} \right )\it{xyz}}$$Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 23-12-2018 inequality, không thuần nhất và . |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh