Đến nội dung

Hình ảnh

$$\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{\sin x+ 8}{\rm d}x= {\it ?}$$

* * * * * 1 Bình chọn symmetry weierstrass_substitution

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$$\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{\sin x+ 8}{\rm d}x= {\it ?}$$



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Giải.

$$\int_{0}^{\pi}\!\frac{x\sin x}{\sin x+ 8}{\rm d}x\!\begin{matrix}\mathsf{symmetry}\\ =\\ \,\end{matrix}\!\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}\!\frac{\sin x}{\sin x+ 8}{\rm d}x= \frac{\pi^{2}}{2}- 4\pi\int_{0}^{\pi}\!\frac{{\rm d}x}{\sin x+ 8}\!\begin{matrix}\mathsf{Weierstrass}\\ =\\ \,\end{matrix}\!\frac{\pi^{2}}{2}- \pi\int_{0}^{\infty}\!\frac{{\rm d}x}{x^{2}+ x/4+ 1}$$

$$= \frac{\pi^{2}}{2}- \frac{64}{63}\pi\int_{0}^{\infty}\!\frac{{\rm d}x}{\left ( 8/3\sqrt{7} \right )^{2}\left ( x+ 1/8 \right )^{2}+ 1}= \frac{\pi^{2}}{2}- \frac{8}{3\surd 7}\pi\left [ \arctan\left ( \frac{8}{3\surd 7}\left ( x+ \frac{1}{8} \right ) \right ) \right ]_{0}^{\infty}=$$

$$= \left ( 1- \frac{8}{3\surd 7} \right )\frac{\pi^{2}}{2}+ \frac{8}{3\surd 7}\pi\arctan\left ( \frac{1}{3\surd 7} \right )= \frac{\pi^{2}}{2}- \frac{8}{3\surd 7}\pi\arctan\left ( 3\surd 7 \right )$$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: symmetry, weierstrass_substitution

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh