Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh HK vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Lekhanhung

Lekhanhung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MB, MC và cát tuyến MXA (B, C là các tiếp điểm, MX<MA). MA cắt BC tại D, I là điểm đối xứng với A qua D. Kẻ IE song song với AC (E thuộc AB), kẻ IF song song với AB (F thuộc AC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, AEF. Chứng minh rằng HK vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC.

 

Hình gửi kèm

  • 12Untitled.png


#2
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Lời giải:

Dễ thấy $IEAF$ là hình bình hành $\Rightarrow AI$ và $EF$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường $\Rightarrow D$ là trung điểm của $EF$

Mà $AD$ là đường đối trung của $\Delta ABC$ suy ra $EF$ đối song $BC$ hay $4$ điểm $B,C,E,F$ đồng viên

Ta có tính chất quen thuộc: Trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp là $2$ điểm liên hợp đẳng giác trong $1$ tam giác

Do đó $H$ và $O$ là $2$ điểm liên hợp đẳng giác trong $\Delta ABC$

Gọi $L$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\Delta AEF$ thì $K$ và $L$ cũng là $2$ điểm liên hợp đẳng giác trong $\Delta AEF$

Mà $EF$ đối song $BC$ suy ra $\overline{A,L,H}$ ; $\overline{A,O,K}$ và $OH$ đối song $LK$

Hay $4$ điểm $O,L,H,K$ đồng viên $\Rightarrow OL$ đối song $HK$

Mặt khác: $\overline{DE}.\overline{DF}=\overline{DB}.\overline{DC}=\overline{DA}.\overline{DX} \Rightarrow 4$ điểm $A,X,E,F$ đồng viên

Do đường nối tâm $2$ đường tròn vuông góc với trục đẳng phương của chúng nên $OL\perp AX$

Từ đó theo tính đối song thì $HK$ vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ $A$ của $\Delta ABC$

 

P/s: Gọi giao điểm của $MB$ và $IF$ là $P$, $MC$ và $IE$ là $Q$. Bằng biến đổi góc ta cm đc $P,Q\in (BCEF)$ và $PQ\parallel BC$

Hình gửi kèm

  • đẳng giác.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 01-07-2021 - 20:54


#3
Lekhanhung

Lekhanhung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Lời giải hay quá! Cảm ơn bạn nhiều!






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh