Cho hình chóp S.ABCD có SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=a. Chứng minh khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) không vượt quá $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Cho hình chóp S.ABCD có SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=a. Chứng minh khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).......
#2
Đã gửi 13-07-2021 - 16:45
gt $\Rightarrow ABCD$ là hình thoi $\Rightarrow AC^{2}+BD^{2}=4a^{2} \Rightarrow AC<2a$
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\Delta BCD$. Do $SB=SC=SD \Rightarrow SI\perp (ABCD)$ tại $I$
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow IH\perp BC$ tại $H$ và $SH\perp BC$ tại $H$. Kẻ $IK\perp SH$ tại $K$ thì $IK=d\left(I,(SBC)\right)$
$IC=R_{BCD}=\dfrac{BC.CD.DB}{4S_{BCD}}=\dfrac{a^{2}.BD}{AC.BD}=\dfrac{a^{2}}{AC}$
$SI^{2}=SC^{2}-IC^{2}=a^{2}-\dfrac{a^{4}}{AC^{2}}=\dfrac{a^{2}\left(AC^{2}-a^{2}\right)}{AC^{2}} \Rightarrow AC>a$
$IH^{2}=IC^{2}-CH^{2}=\dfrac{a^{4}}{AC^{2}}-\dfrac{a^{2}}{4}=\dfrac{a^{2}\left(4a^{2}-AC^{2}\right)}{4AC^{2}}$
$\dfrac{1}{IK^{2}}=\dfrac{1}{SI^{2}}+\dfrac{1}{IH^{2}}=\dfrac{AC^{2}}{a^{2}\left(AC^{2}-a^{2}\right)}+\dfrac{4AC^{2}}{a^{2}\left(4a^{2}-AC^{2}\right)}=\dfrac{AC^{2}}{a^{2}}\left(\dfrac{1}{AC^{2}-a^{2}}+\dfrac{4}{4a^{2}-AC^{2}}\right)$
$\Rightarrow IK=\dfrac{a}{AC\sqrt{\dfrac{1}{AC^{2}-a^{2}}+\dfrac{4}{4a^{2}-AC^{2}}}}$
$\dfrac{d\left(A,(SBC)\right)}{d\left(I,(SBC)\right)}=\dfrac{AC}{IC}=\dfrac{AC^{2}}{a^{2}} \Rightarrow d\left(A,(SBC)\right)=\dfrac{IK.AC^{2}}{a^{2}}=\dfrac{AC}{a\sqrt{\dfrac{1}{AC^{2}-a^{2}}+\dfrac{4}{4a^{2}-AC^{2}}}}$
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz và AM - GM:
$\dfrac{1}{AC^{2}-a^{2}}+\dfrac{4}{4a^{2}-AC^{2}}=\dfrac{1}{AC^{2}-a^{2}}+\dfrac{1}{4a^{2}-AC^{2}}+\dfrac{1}{4a^{2}-AC^{2}}+\dfrac{1}{4a^{2}-AC^{2}}+\dfrac{1}{4a^{2}-AC^{2}}\geq \frac{25}{15a^{2}-3AC^{2}}$
$\Rightarrow d\left(A,(SBC)\right)\leq \dfrac{AC\sqrt{15a^{2}-3AC^{2}}}{5a}=\dfrac{\sqrt{3AC^{2}}.\sqrt{15a^{2}-AC^{2}}}{5\sqrt{3}a}\leq \dfrac{15a^{2}}{10\sqrt{3}a}=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{AC^{2}-a^{2}}=\dfrac{1}{4a^{2}-AC^{2}} \\ 3AC^{2}=15a^{2}-3AC^{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow AC=\dfrac{\sqrt{10}a}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 13-07-2021 - 16:45
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh