Chủ đề này có 1 trả lời

[lucas123]

Cho hình chóp S.ABCD có SA=x và các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích khối chóp theo x và tìm x để thể tích đó lớn nhất

[chanhquocnghiem]

Cho hình chóp S.ABCD có SA=x và các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích khối chóp theo x và tìm x để thể tích đó lớn nhất

Đáy $ABCD$ là hình thoi có cạnh bằng $1$. Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $BCD$ là $R$ và tâm của nó là $O$.
Nhận xét : Muốn cho thể tích lớn nhất thì chiều cao phải lớn nhất, tức là $R$ phải nhỏ nhất, suy ra góc $A$ của hình thoi $ABCD$ phải là góc nhọn.

Đặt $\widehat{BAD}=\alpha\ (0^o< \alpha < 90^o)$

$S_{ABCD}=\sin \alpha$

$R=\frac{BC.CD.DB}{4\ S_{BCD}}=\frac{\sqrt{2-2\cos \alpha }}{2\sin \alpha }$

$h=\sqrt{1-R^2}=\frac{\sqrt{4\sin^2\alpha +2\cos\alpha -2}}{2\sin\alpha }$

$\Rightarrow V=\frac{S_{ABCD}.h}{3}=\frac{\sqrt{4\sin^2\alpha +2\cos\alpha -2}}{6}$

Đến đây chỉ việc tìm GTLN của hàm $V(\alpha )$.

$V_{max}=\frac{1}{4}$ khi $\cos\alpha =\frac{1}{4}$

Khi đó $R=OC=\frac{\sqrt{2-\frac{1}{2}}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

$OA=AC-OC=\sqrt{2+\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{3}{10}\ \sqrt{10}$

$x=\sqrt{OA^2+h^2}=\frac{\sqrt6}{2}$.

Để tìm $V(x)$ có thể làm như sau :

$x^2=(AC-R)^2+h^2=(2+2\cos\alpha )+\frac{2-2\cos\alpha }{4\ \sin^2\alpha }-\frac{2\sqrt{4-4\cos^2\alpha }}{2\sin\alpha }+\frac{4\sin^2\alpha +2\cos\alpha -2}{4\sin^2\alpha }$

$=1+2\cos\alpha$

$\Rightarrow V=\frac{\sqrt{4\sin^2\alpha +2\cos\alpha -2}}{6}=\frac{\sqrt{3x^2-x^4}}{6}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 05-07-2021 - 17:38