Các bạn giải hộ mình bài toán sau:
Chứng minh rằng phương trình Đi-ô-phăng
$x^{4} +y^{4} +z^{4}=4s^{4}$
không có nghiệm nguyên dương ?
Chứng minh $x^4 +y^4+z^4 =4s^4$ không có nghiệm nguyên dương ?
Bắt đầu bởi Nguyen Huyen Dieu, 05-07-2021 - 08:30
$x^{4} +y^{4} +z^{4}=4s^{4}$
#2
Đã gửi 05-07-2021 - 15:19
PDF
-
- Thành viên
-
- 197 Bài viết
Trung sĩ
Các bạn giải hộ mình bài toán sau:
Chứng minh rằng phương trình Đi-ô-phăng
$x^{4} +y^{4} +z^{4}=4s^{4}$
không có nghiệm nguyên dương ?
Giả sử PT có nghiệm dương. Ta có thể giả sử thêm $x,y,z,s$ nguyên tố cùng nhau, vì nếu chúng có gcd là $d>1$ thì ta chia hai vế cho $d^{4}$.
Ta có nhận xét sau: $x^{4}$ chia $16$ chỉ có thể dư $0$ hoặc $1$. Vì thế nên vế trái chia $16$ có thể dư $0,1,2,3$, trong khi vế phải chia $16$ chỉ có thể dư $0$ hoặc $4$. Suy ra nếu PT có nghiệm thì cả $4$ số $x,y,z,s$ phải chẵn, mâu thuẫn.
Vậy phương trình này không có nghiệm nguyên dương. $\square$
PS: Bằng cách tương tự, ta có thể giải được bài toán sau
Chứng minh rằng phương trình $x^{7}+y^{7}+z^{7}=4$ không có nghiệm nguyên.
- Hoang72 và ThienDuc1101 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
