Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tính diện tích hình quạt ellipse


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1923 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 02-11-2019 - 18:58

Trong hệ tọa độ cực gốc $O$, trục cực hướng sang phải, cho ellipse $r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta }=\frac{p}{1+e\cos\theta }$

(Ellipse này có bán trục lớn là $a$, bán trục nhỏ là $b$, tâm sai $e$ và có tiêu điểm bên phải trùng với $O$)

Tính diện tích mà vector bán kính $\overrightarrow{OM}$ quét được khi điểm $M$ chạy trên ellipse theo chiều dương từ điểm $A$ (ứng với $\theta =0$) đến điểm $B$ (ứng với $\theta =\frac{\pi}{3}$) ?


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1923 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 03-11-2019 - 13:34

Trong hệ tọa độ cực gốc $O$, trục cực hướng sang phải, cho ellipse $r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta }=\frac{p}{1+e\cos\theta }$

(Ellipse này có bán trục lớn là $a$, bán trục nhỏ là $b$, tâm sai $e$ và có tiêu điểm bên phải trùng với $O$)

Tính diện tích mà vector bán kính $\overrightarrow{OM}$ quét được khi điểm $M$ chạy trên ellipse theo chiều dương từ điểm $A$ (ứng với $\theta =0$) đến điểm $B$ (ứng với $\theta =\frac{\pi}{3}$) ?

Diện tích vector bán kính $\overrightarrow{OM}$ quét là :

$S=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{p^2d\theta }{(1+e\cos\theta )^2}=\frac{p^2}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{d\theta }{(1+e\cos\theta )^2}$

Đặt $t=\tan\frac{\theta }{2}\Rightarrow d\theta =\frac{2dt}{1+t^2}$ ; $\cos\theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\int \frac{d\theta }{(1+e\cos\theta )^2}=\int \frac{2(1+t^2)dt}{(1+t^2)^2+2e(1-t^4)+e^2(1-t^2)^2}=2\int \frac{(1+t^2)dt}{\left [ (1-e)t^2+(1+e) \right ]^2}=...$

$=2(1-e^2)^{-\frac{3}{2}}\left ( \arctan\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}.t-\frac{e(1-e^2)^{\frac{1}{2}}.t}{(1-e)t^2+(1+e)} \right )+C=2(1-e^2)^{-\frac{3}{2}}\left ( \arctan\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}.\tan\frac{\theta }{2}-\frac{e(1-e^2)^{\frac{1}{2}}.\tan\frac{\theta }{2}}{(1-e)\tan^2\frac{\theta }{2}+(1+e)} \right )+C$

$\Rightarrow S=p^2(1-e^2)^{-\frac{3}{2}}\left ( \arctan\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}.\tan\frac{\theta }{2}-\frac{e(1-e^2)^{\frac{1}{2}}.\tan\frac{\theta }{2}}{(1-e)\tan^2\frac{\theta }{2}+(1+e)} \right )\Bigg|_0^{\frac{\pi}{3}}$

$=ab\left ( \frac{\sqrt3}{3}\arctan\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}-\frac{\sqrt3\ e(1-e^2)^{\frac{1}{2}}}{4+2e} \right )$

(trong đó $a,b,e$ lần lượt là bán trục lớn, bán trục nhỏ và tâm sai của ellipse)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 03-11-2019 - 14:27

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh