Chủ đề này có 1 trả lời

[lucas123]

S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số chọn được chia hết cho 15

[Nobodyv3]

S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số chọn được chia hết cho 15

Các số thỏa đề bài có dạng $\overline{abcd}$ với $d=0$ và $3\mid(a+b+c)$ hoặc $d=5$ và $a+b+c\equiv 1 \!\!\pmod 3$.
$\blacksquare$ Với $d=0$ :
Ta có số dư theo modulo 3 của các chữ số i sau:
$$\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\boldsymbol {\textbf{chữ số $i$}} &1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
\hline \boldsymbol {i\!\!\pmod 3}& 1&2&0&1&2&0&1&2&0\\  
\end{array}.$$
Như vậy có 3 chữ số ứng với mỗi số dư 0, 1, 2 modulo 3.Ta có :
(0,0,0), (1,1,1), (2,2,2):có $3C_{3}^{3}$ tập.
(0,1,2): có $(C_{3}^{1})^3$ tập
Vậy có $3!(3+27)=180$ số
$\blacksquare $ Với $d=5$:
Ta có bảng sau:
$$\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|cc}\boldsymbol {\textbf{chữ số $i$}}&0&1&2&3&4&6&7&8&9 \\
\hline \boldsymbol {i\!\!\pmod 3}& 0&1&2&0&1&0&1&2&0\\  
\end{array}$$
Ta thấy có 4 chữ số có số dư 0 mod 3, 3 chữ số có số dư 1 mod 3, 2 chữ số có số dư 2 mod 3. Tiến hành tính các số có $a+b+c\equiv 1 \!\!\pmod 3$ kể cả $a=0$:
(0,0,1):có $C_{4}^{2}\cdot C_{3}^{1}$
(0,2,2): có $C_{4}^{1}\cdot C_{2}^{2}$
(1,1,2):có $C_{3}^{2}\cdot C_{2}^{1}$
Có $3!(18+4+6)=168$ số
Trong đó, số các số có $a=0$ là :
(0,1):$C_{3}^{1}\cdot C_{3}^{1}$
(2,2):$C_{2}^{2}$
Có $2!(9+1)=20$ số
XS cần tìm :
$P=\frac{180+168-20}{9\cdot9\cdot8\cdot7}=\frac{41}{567}$