Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$ \sqrt{\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}} + \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc} } \geq 4 $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 412 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 03-11-2019 - 13:03

$ \textbf{ Bài toán } $: Cho $ a,b,c > 0 $, chứng minh rằng ta có bất đẳng thức 

$$ \sqrt{\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}} + \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc} } \geq 4. $$ 


$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#2 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 412 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 05-11-2019 - 19:04

Ta có : $ \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} = \frac{(ab+bc+ac)^3}{(ab+bc+ac)^2(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{(3\sqrt[3]{a^2b^2c^2})^3}{\frac{(a+b+c)^6}{27}} = \frac{27^2a^2b^2c^2}{(a+b+c)^6} $

Suy ra $ VT \geq \frac{27abc}{(a+b+c)^3} +\frac{ a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} = \frac{27abc}{(a+b+c)^3}+3.\frac{a+b+c}{3\sqrt[3]{abc}}  \geq 4\sqrt[4]{\frac{27abc(a+b+c)^3}{27abc(a+b+c)^3}} = 4 $

Dấu "=" xảy ra khi $ a=b=c>0.$

 

(P/S: Còn có thể chuẩn hóa $ a+b+c=3 $.)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 05-11-2019 - 20:50

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#3 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 412 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 05-11-2019 - 19:11

Bất đẳng thức chặt hơn sau đây vẫn đúng: 

Cho $ a,b,c > 0 $, chứng minh rằng 

$$ \frac{ \sqrt[4]{3abc(a+b+c)}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} + \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \geq 4. $$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 05-11-2019 - 20:12

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh