Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geqslant 2$

bât đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
thuvitoanhoc

thuvitoanhoc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

BĐT Xi-ôn-côp-xki:

$\forall$ a,b,c,d > 0. Ta có:

$\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geqslant 2$

Dấu "=" xảy ra khi a = c và b = d



#2
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

BĐT Xi-ôn-côp-xki:

$\forall$ a,b,c,d > 0. Ta có:

$\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geqslant 2$

Dấu "=" xảy ra khi a = c và b = d

BĐT tương đương $$\frac{2a+b+c}{b+c}+\frac{2b+c+d}{c+d}+\frac{2c+d+a}{d+a}+\frac{2d+a+b}{a+b}\geq 8.$$

Theo BĐT AM-GM: $$\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\geq 4.$$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz: $$\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}=(a+c)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+(b+d)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)\geq \frac{4(a+c)}{a+b+c+d}+\frac{4(b+d)}{a+b+c+d}=4.$$

Cộng lại ta có ngay đpcm. $\square$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bât đẳng thức

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh