BĐT Xi-ôn-côp-xki:
$\forall$ a,b,c,d > 0. Ta có:
$\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geqslant 2$
Dấu "=" xảy ra khi a = c và b = d
BĐT Xi-ôn-côp-xki:
$\forall$ a,b,c,d > 0. Ta có:
$\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geqslant 2$
Dấu "=" xảy ra khi a = c và b = d
BĐT Xi-ôn-côp-xki:
$\forall$ a,b,c,d > 0. Ta có:
$\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geqslant 2$
Dấu "=" xảy ra khi a = c và b = d
BĐT tương đương $$\frac{2a+b+c}{b+c}+\frac{2b+c+d}{c+d}+\frac{2c+d+a}{d+a}+\frac{2d+a+b}{a+b}\geq 8.$$
Theo BĐT AM-GM: $$\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\geq 4.$$
Theo BĐT Cauchy-Schwarz: $$\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}=(a+c)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+(b+d)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)\geq \frac{4(a+c)}{a+b+c+d}+\frac{4(b+d)}{a+b+c+d}=4.$$
Cộng lại ta có ngay đpcm. $\square$
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a^{3}b^{2}+b^{3}c^{2}+c^{3}a^{2}}{a^{5}+b^{5}+c^{5}}\leqslant 1$Bắt đầu bởi Nguyen Huyen Dieu, 07-08-2021 bât đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR: $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{3}{a^{4}+b^{4}+c^{4}}$Bắt đầu bởi leduylinh1998, 17-11-2013 bât đẳng thức |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh