Cho 3 số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn: $(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) = 8$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$\frac{a}{b(b+2c+1)(a+3c)^2} + \frac{b}{c(c+2a+1)(b+3a)^2} + \frac{c}{a(a+2b+1)(c+3b)^2}$
Cho 3 số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn: $(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) = 8$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$\frac{a}{b(b+2c+1)(a+3c)^2} + \frac{b}{c(c+2a+1)(b+3a)^2} + \frac{c}{a(a+2b+1)(c+3b)^2}$
Áp dụng BĐT C-S: $$P=\frac{\left(\dfrac{a}{a+3c}\right)^{2}}{ab(b+2c+1)}+\frac{\left(\dfrac{b}{b+3a}\right)^{2}}{bc(c+2a+1)}+\frac{\left(\dfrac{c}{c+3b}\right)^{2}}{ca(a+2b+1)}\geq \frac{\left(\dfrac{a}{a+3c}+\dfrac{b}{b+3a}+\dfrac{c}{c+3b}\right)^{2}}{(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+6abc+(bc+ca+ab)}.$$
Lại áp dụng BĐT C-S ta có $$\dfrac{a}{a+3c}+\dfrac{b}{b+3a}+\dfrac{c}{c+3b}\geq \frac{3}{4},$$
$$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})}\leq 3.$$
(Bổ đề 8/9)
Mặt khác, theo BĐT AM-GM và bổ đề 8/9: $$abc\leq 1,bc+ca+ab\leq \sqrt{3(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2})}\leq 3.$$
Kết hợp lại ta có $P\geq \frac{3}{64}$.
Vậy $P\geq \frac{3}{64}$ khi $a=b=c=1$. $\square$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh