Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Huyen Dieu]

Cho tam giác ABC trên các cạnh AB,BC,CA lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho                                                     

AM =  $\frac{1}{3}$AB

$BN =  \frac{1}{3} BC$

CP =  $\frac{1}{3}$ CA

AN cắt CM tại Q, AN cắt BP tại R ,BP cắt CM tại S .Chứng minh:

$S_{QRS} = S_{AMQ} + S_{BNR}  + S_{CPS}$ ( $S_7 = S_1+ S_3+ S_5$ như hình vẽ bên)

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huyen Dieu: 09-07-2021 - 18:23
Tiêu đề + LaTeX

[Dark Repulsor]

Áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta MCB$ với $\overline{N,Q,A}$:

$1=\dfrac{\overline{NB}}{\overline{NC}}.\dfrac{\overline{QC}}{\overline{QM}}.\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}=\dfrac{-1}{2}.\dfrac{1}{3}.\frac{\overline{QC}}{\overline{QM}} \Rightarrow \frac{\overline{MQ}}{\overline{MC}}=\dfrac{1}{7} \Rightarrow S_{3}=S_{AMQ}=\dfrac{1}{7}S_{AMC}=\dfrac{1}{21}S_{ABC}$

Tương tự: $S_{1}=S_{5}=\dfrac{1}{21}S_{ABC}$

Lại có: $S_{2}=S_{AMC}-S_{1}-S_{3}=\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{21}-\dfrac{1}{21}\right)S_{ABC}=\dfrac{5}{21}S_{ABC}$

Tương tự: $S_{4}=S_{6}=\dfrac{5}{21}S_{ABC}$

Suy ra $S_{7}=S_{ABC}-S_{1}-S_{2}-S_{3}-S_{4}-S_{5}-S_{6}=\dfrac{1}{7}S_{ABC} \Rightarrow S_{7}=S_{1}+S_{3}+S_{5}=\dfrac{1}{7}S_{ABC}$

[perfectstrong]

Không cần phức tạp thế thôi. Chỉ cần chú ý \[{S_{AMC}} = {S_{ABN}} = {S_{BCP}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \Rightarrow {S_{AMC}} + {S_{ABN}} + {S_{BCP}} = {S_{ABC}}\]

Rồi khai triển bù trừ hết sẽ ra điều phải chứng minh. Bài này hình như trong đề thi hsg 5 mà