Chủ đề này có 5 trả lời

[DBS]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\geq 2(a^2+b^2+c^2)+\sqrt{3}$$.

 

Ps: Em làm mãi mà chỉ chứng minh được $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\geq 3(a^2+b^2+c^2)+2\geq 2(a^2+b^2+c^2)+3$ thôi à, ko ra đáp án

[Nguyen Huyen Dieu]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\geq 2(a^2+b^2+c^2)+\sqrt{3}$$.

 

Ps: Em làm mãi mà chỉ chứng minh được $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\geq 3(a^2+b^2+c^2)+2\geq 2(a^2+b^2+c^2)+3$ thôi à, ko ra đáp án

Mình nghĩ nếu bạn giải đúng thì bạn có ngay đáp án do 2(a² +b²+c²) +3 $\geqslant$ 2(a² +b²+c²) +$\sqrt{3}$ vì hiển nhiên 3$\geqslant \sqrt{3}$. Kết quả bạn chứng minh được còn mạnh hơn cả đề bài à. Mà như thế thì đề bài phải dấu > mới đúng chứ không thể xảy ra dấu = do 3 >$\sqrt{3}$

[Dark Repulsor]

Gợi ý: Sử dụng 2 bổ đề sau:  $\forall a,b,c>0$, ta có bđt:

$1$) $$\sum_{cyc}\dfrac{a^{2}}{b}\geq \dfrac{\left(\sum a\right)\left(\sum a^{2}\right)}{\sum ab}$$

$2$) Với $\sum ab=1$: $$\left(\sum a\right)\left(\sum a^{2}\right)\geq 3\sqrt{3}\sum a^{2}-11\sum a+9\sqrt{3}$$

Bổ đề $2$ là đánh giá chặt nhất và ta có thể xây dựng nhiều bđt khác trên cơ sở này

Trở lại bt:

Dễ cm  $3\sqrt{3}\sum a^{2}-11\sum a+9\sqrt{3}\geq 2\sum a^{2}+\sqrt{3}-2$ với $\sum ab=1$. Từ đó suy ra đpcm

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 09-07-2021 - 11:37

[DBS]

$2$) Với $\sum ab=1$: $$\left(\sum a\right)\left(\sum a^{2}\right)\geq 3\sqrt{3}\sum a^{2}-11\sum a+9\sqrt{3}$$

Bổ đề $2$ là đánh giá chặt nhất và ta có thể xây dựng nhiều bđt khác trên cơ sở này

Làm sao để chứng minh đc bổ đề này vậy a?

[Dark Repulsor]

Làm sao để chứng minh đc bổ đề này vậy a?

Đặt $t=\sum a$.  Bđt $\Leftrightarrow \left(t-\sqrt{3}\right)^{3}\geq 0$

Bài của em là một đánh giá yếu hơn bổ đề $2$. Có thể bỏ qua bổ đề $2$ cm trực tiếp đc luôn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 10-07-2021 - 10:04

[Serine]

Ps: Em làm mãi mà chỉ chứng minh được $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\geq 3(a^2+b^2+c^2)+2\geq 2(a^2+b^2+c^2)+3$ thôi à, ko ra đáp án

xin hỏi bạn chứng minh cái này làm sao á?