Chủ đề này có 1 trả lời

[thuvitoanhoc]

Chứng minh BĐT Nesbit cho 5 biến:

Cho a,b,c,d,e > 0. Chứng minh:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\geqslant\frac{5}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = d = e

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuvitoanhoc: 12-07-2021 - 10:16

[tkd23112006]

Đặt S=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}$

Ta có :

S=$\frac{a^{2}}{a(b+c)}+\frac{b^{2}}{b(c+d)}+\frac{c^{2}}{c(d+e)}+\frac{d^{2}}{d(e+a)}+\frac{e^{2}}{e(a+b)}$

>=$\frac{(a+b+c+d+e)^{2}}{a(b+c)+...e(a+b)}$(bđt c-s)

Mặt khác ta có:

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2})\geq ab+ac+bc+bd+cd+ce+de+da+ea+eb$(Bđt AM-GM cho từng cặp số)

=>$2(a+b+c+d+e)^{2}\geq 5a(b+c)+5b(c+d)+...+5e(a+b)$

=>$\frac{(a+b+c+d+e)^{2}}{a(b+c)+...e(a+b)}$>=5/2

=>s>=5/2(đpcm)

Dấu "=" <=> a=b=c=d=e.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tkd23112006: 13-07-2021 - 09:47