Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại A và BC=2a, AC=a. D là điểm đối xứng với C qua trung điểm AB. Góc $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABC). Biết $tan\alpha =\sqrt{6}$, SA=SB=SD. Tính thể tích SABC và khoảng cách giữa SC và AD
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại A và BC=2a, AC=a. D là điểm đối xứng với C qua trung điểm AB....
#1
Đã gửi 11-07-2021 - 09:35
#2
Đã gửi 12-07-2021 - 11:31
Dễ thấy $ACBD$ là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $2$ đường chéo
$AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{3}a$ ; $\tan\alpha=\sqrt{6} \Rightarrow 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ và $\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{7}}$
Gọi $M$ là trung điểm của $BD$ $\Rightarrow SM\perp BD$. Có $SA=SB$ và $O$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SO\perp AB$
Áp dụng công thức diện tích hình chiếu cho $2$ mp ($SBD$) và ($ABCD$) ta có:
$S_{OBD}=S_{SBD}\cos\alpha \Rightarrow \dfrac{OB.BD}{2}=\dfrac{SM.BD}{2}.\cos\alpha \Rightarrow SM=\dfrac{\sqrt{21}a}{2}$
$\Rightarrow SA=SB=SD=\sqrt{SM^{2}+BM^{2}}=\dfrac{\sqrt{22}a}{2} \Rightarrow SO=\sqrt{SB^{2}-OB^{2}}=\dfrac{\sqrt{19}a}{2}$
$\Rightarrow V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}SO.S_{ABC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{19}a}{2}.\dfrac{\sqrt{3}a^{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{57}a^{3}}{12}$
Gọi $N$ là trung điểm của $BC$ thì tứ diện $OSBN$ có $3$ cạnh $OS,OB,ON$ đôi một vuông góc
Kẻ $OH\perp BC$ tại $H$, $OK\perp SH$ tại $K$ thì $OK=d\left(O,(SBN)\right)$
Mặt khác: $\dfrac{1}{OK^{2}}=\dfrac{1}{OS^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}+\dfrac{1}{ON^{2}}=\dfrac{4}{19a^{2}}+\dfrac{4}{a^{2}}+\dfrac{4}{3a^{2}}=\dfrac{316}{57a^{2}} \Rightarrow OK=\dfrac{2\sqrt{4503}a}{57}$
$d(SC,AD)=d\left(AD,(SBC)\right)=2d\left(O,(SBC)\right)=2OK=\dfrac{4\sqrt{4503}a}{57}$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh