Cho $x,y,z \in [0;1]$
CMR $\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{xz+1} \leq \frac{5}{x+y+z}$
$\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{xz+1} \leq \frac{5}{x+y+z}$
Bắt đầu bởi Nguyen Huy Hoang, 16-09-2015 - 20:58
#1
Đã gửi 16-09-2015 - 20:58
Nguyen Huy Hoang
-
- Thành viên
-
- 174 Bài viết
Trung sĩ
BELIEVE THAT YOU WILL SUCCEED - AND YOU WILL !
"Tin rằng thành công - Bạn sẽ thành công!"
-Dale Carnegie-
#2
Đã gửi 17-05-2021 - 15:55
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho $x,y,z \in [0;1]$
CMR $\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{xz+1} \leq \frac{5}{x+y+z}$
Lời giải. Giả sử $1\geqslant x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$
Khi đó: $\frac{z}{xy+1}+\frac{y}{zx+1}+\frac{x}{yz+1}\leqslant \frac{x+y+z}{yz+1}\leqslant \frac{1+y+z+(1-y)(1-z)+yz}{yz+1}=2$
và $\frac{x+y}{xy+1}+\frac{y+z}{yz+1}+\frac{z+x}{zx+1}=\left [ 1-\frac{(x-1)(y-1)}{xy+1} \right ]+\left [ 1-\frac{(y-1)(z-1)}{yz+1} \right ]+\left [ 1-\frac{(z-1)(x-1)}{zx} \right ]\leqslant 3$
Suy ra $\frac{x+y+z}{xy+1}+\frac{x+y+z}{yz+1}+\frac{x+y+z}{zx+1}\leqslant 5$
$\Leftrightarrow \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leq \frac{5}{x+y+z}(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi có 1 số bằng 0 và hai số bằng 1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-05-2021 - 15:56
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
