Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a, b, c, d > 0 và $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh: $(1-a)(1-b)(1-c)\geq \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 inthedark

inthedark

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-11-2019 - 11:01

Cho a, b, c, d > 0 và $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh: $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inthedark: 07-11-2019 - 11:07


#2 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 08-11-2019 - 16:23

Ta có $ 2(1-a)(1-d) = 2 - 2(a+d) + 2ad = a^2 + b^2+c^2+d^2 - 2(a+d) + 2ad+ 1 = ( a+d-1)^2 + b^2 +c^2 \geq b^2 + c^2 .$

Tương tự $ 2(1-b)(1-c) \geq a^2 + d^2.$ 

Mặt khác dễ  thấy các vế không âm, suy ra nhân theo vế ta được $ (1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \geq \frac{(a^2+d^2)(b^2+c^2)}{4} = \frac{\sqrt{(a^2+d^2)(c^2+b^2)}\sqrt{(a^2+d^2)(b^2+c^2)}}{4} \geq \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{4}. $

Dấu "=" xảy ra khi $ a=b=c=d=\frac{1}{2}.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 08-11-2019 - 16:24

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#3 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 08-11-2019 - 17:51

Bài toán tương tự : Cho $ a,b,c,d > 0 $ thỏa $ a^2 + b^2 +c^2 +d^2 = 1 $. Chứng minh rằng: 

$$ (1-a)(1-b) \geq \frac{(c+d)^2}{4}. $$

(Đề chọn đội tuyển HSGQG TPHCM -2020)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 08-11-2019 - 17:59

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#4 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 08-11-2019 - 17:57

Mở rộng từ AOPS : Cho $ a,b,c,d > 0 $ và $ k \in R $ thỏa $ a^2 +b^2 +c^2 +d^2 =1.$ Chứng minh rằng 

$$ 4(k-a)(k-b) \geq (c+d)^2 + 2(k^2 - 1).$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 08-11-2019 - 17:59

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#5 Ngu Si

Ngu Si

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 24-11-2019 - 19:48

Bài toán tương tự : Cho $ a,b,c,d > 0 $ thỏa $ a^2 + b^2 +c^2 +d^2 = 1 $. Chứng minh rằng: 

$$ (1-a)(1-b) \geq \frac{(c+d)^2}{4}. $$

(Đề chọn đội tuyển HSGQG TPHCM -2020)

 

Bài toán tương tự : Cho $ a,b,c,d > 0 $ thỏa $ a^2 + b^2 +c^2 +d^2 = 1 $. Chứng minh rằng: 

$$ (1-a)(1-b) \geq \frac{(c+d)^2}{4}. $$

(Đề chọn đội tuyển HSGQG TPHCM -2020)



#6 Ngu Si

Ngu Si

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 24-11-2019 - 20:06

Bài toán tương tự : Cho $ a,b,c,d > 0 $ thỏa $ a^2 + b^2 +c^2 +d^2 = 1 $. Chứng minh rằng: 

$$ (1-a)(1-b) \geq \frac{(c+d)^2}{4}. $$

(Đề chọn đội tuyển HSGQG TPHCM -2020)

$Ta có: 2.2(1-a)(1-b)= 2.(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-2(a+b)+2ab+1)=2.((a+b-1)^{2}+c^{2}+d^{2})\geq 2.(c^{2}+d^{2})=(1+1)(c^{2}+d^{2})\geq (c+d)^{2} => (1-a)(1-b)\geq (c+d)^{2}/4

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1/2$



#7 MrDat

MrDat

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hành tinh song song

Đã gửi 24-11-2019 - 22:15

Bài toán tương tự : Cho $ a,b,c,d > 0 $ thỏa $ a^2 + b^2 +c^2 +d^2 = 1 $. Chứng minh rằng: 

$$ (1-a)(1-b) \geq \frac{(c+d)^2}{4}. $$

(Đề chọn đội tuyển HSGQG TPHCM -2020)

$2(1-a)(1-b)\doteq 2-2a-2b+2ab\doteq a^2+b^2+c^2+d^2-2a-2b+2ab+1\doteq (a+b-1)^2+c^2+d^2\geq c^2+d^2\geq \frac{(c+d)^2}{2}$ 

Suy ra $(1-a)(1-b)\geq \frac{(c+d)^2}{4}$

Dấu bằng khi a+b=1 và c=d


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrDat: 24-11-2019 - 22:50


#8 AgentEthanHunt

AgentEthanHunt

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết

Đã gửi 26-11-2019 - 21:34

Mở rộng từ AOPS : Cho $ a,b,c,d > 0 $ và $ k \in R $ thỏa $ a^2 +b^2 +c^2 +d^2 =1.$ Chứng minh rằng 

$$ 4(k-a)(k-b) \geq (c+d)^2 + 2(k^2 - 1).$$

Nếu em có sai sót gì, xin anh lượng thứ

P/s: MrDat, ko bt cách này có trùng cách tùng ko nhưng đây là phát triển của cách cũ kia, đăng lên để share thôi nhé

$GT=>4(k-a)(k-b)-2(k^2-1)-(c+d)^2\geq 0 <=>4(k-a)(k-b)-2(k^2-1)-2(c^2+d^2)\geq 0(cauchy) <=>2k^2-4k(a+b)+4ab+2-2(1-a^2-b^2)\geq 0 <=>2(a^2+b^2+k^2-2ka-2kb+2ab)\geq 0 =>2(a+b-k)^2\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi $a+b=k ; c=d$

P/S Nick mới từ nick syndycate


To Commemorate Syndycate :(

$Acc-Syndycate$ bị khóa rồi, add lại mình nha! 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh