Chủ đề này có 1 trả lời

[bangbang1412]

Cơ học lượng tử

Cơ học lượng tử có thể phát biểu bằng nhiều cách, cơ học sóng của Schrödinger, cơ học ma trận của Heisenberg hoặc tích phân đường Feymann. Ở đây hôm nay mình muốn trình bày cơ học lượng tử dựa vào phương trình sóng của Schrödinger. Quay lại với de Broglie với ý tưởng mỗi electron là một sóng và như vậy mọi vật chất đều có hai thuộc tính sóng hạt, không hiểu bằng cách nào mà Schrödinger lại thích thú với ý tưởng này và viết ra phương trình Schrödinger. Trong cơ học Newton ta có phương trình $\vec{F}=m\vec{a}$ thì trong cơ học sóng có phương trình Schrödinger, cho phép mô tả toàn bộ trạng thái vật lý của hệ. Ví dụ phương trình trạng thái lượng tử của hạt tự do với khối lượng $m$
$$i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}$$
ở đây $\hbar$ là hằng số Plank thu gọn $(=h/2\pi)$ hoặc phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian tổng quát
$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\textbf{r},t) = \left [-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+ V(\textbf{r},t)\right]\psi(\textbf{r},t)$$
ở đây $\textbf{r}$ là vector vị trí (position vector) và $V(\textbf{r},t)$ là thế (potential) và $\Delta=\nabla^2$ là toán tử Laplace. Thông thường ta quan tâm đến thế không phụ thuộc thời gian thì phương trình Schrödinger sẽ là:
$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\textbf{r},t) = \left [-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\textbf{r}) \right]\psi(\textbf{r},t)$$
Ở đây ta chưa tính đến các hiệu ứng tương đối. Bản thân hàm sóng $\psi$ không có ý nghĩa vật lý nhưng Born đã mang lại đột phá với ý tưởng bình phương module của nó có thể hiểu là xác suất tìm thấy hạt nên ta phải chuẩn hóa nó, ví dụ trường hợp một chiều
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \left | \psi(x,t) \right |^2 dx = 1$$
Trước khi đi sâu hơn vào lý thuyết này, ta nên tiên đề hóa nó bằng toán học, ở đây mình chỉ xin phép nêu ra một tiên đề trong số đó vì mình quan tâm hơn tới khía cạnh toán học của nó:

Tiên đề: Mọi đại lượng quan sát được $G$ trong cơ học lương tử được mô tả bằng một toán tử $\widehat{G}$ và các phép đo $G$ sẽ thu được các giá trị riêng của $\widehat{G}$.

Như vậy tiền đề cho cơ học lượng tử sẽ là đại số tuyến tính và giải tích hàm. Từ đây về sau mình chỉ quan tâm trường hợp một chiều, trường hợp chiều cao hơn "khá tương tự". Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian có thể thu được từ phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian bằng phương pháp tách biến $\psi(x,t)=\phi(x) \sigma(t)$
$$\frac{1}{\sigma(t)} i\hbar \frac{d\sigma(t)}{dt} = \frac{1}{\phi(x)}\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x) \right] \phi(x)=E$$
hằng số $E$ gọi là mức năng lượng của hệ, với phương trình $i\hbar\sigma'(t)=E\sigma(t)$ ta có nghiệm $\sigma(t)=e^{-iEt/\hbar}$ nên việc của ta là giải phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian
$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m} + V(x) \right] \phi(x) = E \phi(x)$$
Thông thường trong Vật lý người ta hay viết các toán tử phụ thuộc vào không gian, ví dụ với toán tử động lượng trong trường hợp một chiều $\widehat{p}= -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$$
$$\widehat{x} = x, \widehat{p_x} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \ \text{trong không gian tọa độ}$$
$$\widehat{p_x}=p_x, \widehat{x} = i\hbar \frac{\partial}{\partial p_x} \ \text{trong không gian động lượng}$$

Nguyên lý bất định Heisenberg: Nôm na ta không thể đo được chính cả cả động lượng lẫn vị trí của hạt, ở dạng Toán học:
$$\Delta p_x \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}$$
Tiếp theo mình bàn đến hai bài toán cơ bản của cơ học lượng tử, là giếng thế(hữu hạn hoặc vô hạn nhưng ở đây mình quan tâm tới hữu hạn) hữu hạn (finite potential well) và dao động tử điều hòa (harmonic oscillation). Ngoài ra còn có hiện tượng chui hầm - tunnelling effect.

Giếng thế hữu hạn
Xét hố thế hình chữ nhật:

trong đó $V(x) = 0$ khi $\left | x \right | > a$ và $V(x) = -V_0 < 0$ khi $\left | x \right | < a$ (latex diễn đàn lỗi không chia trường hợp được). Tùy vào mức năng lượng $E$ âm hay dương mà ta tfm được hàm sống ở các khu vực khác nhau, để đơn giản khu vực $x < -a, -a < x < a, a < x$ sẽ được kí hiệu là $(1),(2),(3)$ và hàm sóng tương ứng $\psi_1, \psi_2, \psi_3$, số sóng $k = \sqrt{2mE}{\hbar}, k'=\sqrt{2m(E+V_0)}/\hbar^2$. Mình tổng kết các kết quả
Khi $E > 0$:
$$\psi_1(x) = e^{ikx} + Re^{-ikx}, x < -a$$
$$\psi_2(x) = Ae^{ik'x} + Be^{-ik'x}, -a < x < a$$
$$\psi_3(x) = Te^{ikx}, x > a$$
trong đó ta cần các điều kiện tương thích ở các vị trí $x = a, x= -a$ để giải hệ số:
$$e^{-ika} + Re^{ika} = Ae^{-ik'a} + Be^{ik'a}$$
$$ik(e^{-ika} - Re^{ika}) = ik'(Ae^{-ik'a} - Be^{ik'a})$$
$$Ae^{ik'a} + Be^{-ik'a} = Te^{ika}$$
$$ik'(Ae^{ik'a} - Be^{-ik'a}) = ikTe^{ika}$$
và ta giải được hai hệ số:
$$R = ie^{-2ika} \frac{(k'^2 - k^2)\sin(2k'a)}{2kk'\cos(2k'a) - i(k'^2+k^2)\sin(2k'a)}$$
$$T = e^{-2ika}\frac{2k'k}{2kk'\cos(2k'a) - i(k'^2+k^2)\sin(2k'a)}$$
Khi $E<0$ ta có hệ tương tự nên bỏ qua, điểm cốt yếu ở đây là $E > 0$ và $E < 0$ đại diện cho hai bài toán Sturn-Liouville khác nhau của phương trình vi phân thường cấp hai.

Dao động tử điều hòa
Có thể hiểu dao động vật khối lượng $m$ gắn vào lò xo với thế $V(x) = kx^2/2$ với $k$ là hằng số đàn hồi và dao động trên khoảng $[-A,A]$. Tình huống tương tự xảy ra trong cơ học lượng tử, nếu đặt $\omega = \sqrt{k/m}$ ta có phương trình Schrödinger (vẫn là một chiều):
$$\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = \frac{2m}{\hbar^2}(\frac{1}{2}m\omega^2 x^2 - E)\psi(x)$$
khác với cơ học cổ điển, vật chỉ dao động trong vùng bị chặn bởi hai vị trí tường $x = -A, x= A$ và xác suất tìm thấy dao động điều hòa cao nhất ở cạnh hai vị trí này và thấp nhất ở $x = 0$. Năng lượng thấp nhất có thể là $0$ thì trong cơ học lượng tử năng lượng không là không và xác suất tìm thấy hạt (do đặc trưng xác suất của hàm sóng) có thể bên ngoài vùng $[-A,A]$
 

bằng cách dùng hai toán tử nâng vào hạ (rising and lowing operators)
$$a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(\widehat{x}+\frac{i}{m\omega}\widehat{p})$$
$$a^{\dagger} =\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(\widehat{x}-\frac{i}{m\omega}\widehat{p})$$
ta có thể tìm các mức năng lượng của phương trình này (xem thêm ở đây):
$$E_n = (n + \frac{1}{2})\hbar \omega$$
và hàm sóng tương ứng:
$$\psi_n(x) = N_n e^{-\beta^2 x^2/2}H_n(\beta x)$$
trong đó $\beta = \sqrt{m\omega/\hbar}$, $N_n$ là hằng số chuẩn hóa tích phân và $H_n$ là đa thức Hermite thứ $n$

Mình sẽ kết thúc bài này bằng một ví dụ:

Ví dụ: Chứng minh rằng với dao động tử điều hòa ở trạng thái cơ bản $(n=0)$, xác suất tìm thấy hạt trong vùng cấm cổ điển (classically forbidden region) là xấp xỉ $15,8 \%$.

Chứng minh:
Trước tiên ta phải tìm $A$, ở đây ta sẽ dùng trực giác cổ điển, trước tiên hàm sóng ở trạng thái cơ bản:
$$\psi_0(x) = \left( \frac{m\omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-m\omega x^2/2\hbar}$$
ở các vị trí $A,-A$ (turning points) thì không có động năng nên thế năng bằng năng lượng
$$E_0 = \frac{\hbar\omega}{2} = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$$
$$\Rightarrow A = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$$
xác suất tìm thấy hạt trong vùng cấm cổ điển:
$$P = \int_{A}^{+\infty} \left |\psi_0(x) \right|^2 dx + \int_{-\infty}^{-A} \left |\psi_0(x) \right|^2 dx = 2 \int_A^{\infty} \left | \psi_0(x) \right |^2 dx = \frac{1}{A\sqrt{\pi}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}(A - \text{Erf}(A)) \sim 2 \times 7.9 \sim 15.8 \%$$
Ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 10-11-2019 - 18:57

[bangbang1412]

 

Cơ học lượng tử

 

Tiên đề: Mọi đại lượng quan sát được $G$ trong cơ học lương tử được mô tả bằng một toán tử $\widehat{G}$ và các phép đo $G$ sẽ thu được các giá trị riêng của $\widehat{G}$.

Nguyên lý bất định Heisenberg: Nôm na ta không thể đo được chính cả cả động lượng lẫn vị trí của hạt, ở dạng Toán học:
$$\Delta p_x \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}$$

Hôm nay mình trình bày kĩ hơn định lý giao hoán tử (commutator theorem) và hệ quả của nó là nguyên lí bất định Heisenberg. Như hôm qua đã phát biểu qua, nguyên lí bất định nói rằng ta không thể đo chính xác cả vị trí lẫn xung lượng. Khi quan sát một hệ thì ta phải tác dụng vào hệ ít nhất một photon, do đó gây nên nhiễu loạn. Đối với hệ vĩ mô thì tác động là không đáng kể nhưng điều này có vai trò quan trọng với hệ vi mô. Chẳng hạn để xác định vị trí của một electron ta phải chiếu vào đó một photon: để có thể xác định vị trí electron ta phải dùng photon có bước sóng ngắn. Photon va vào electron gây nhiễu loạn, vì vậy nếu ta đo cả xung lượng thì phép đo sẽ kém chính xác: đo vị trí càng chính xác thì đo xung lượng càng kém chính xác. 

 

Nguyên lý bất định đã phát tín hiệu về sự cáo chung cho giấc mơ của Laplace về một lý thuyết khoa học, một mô hình của vũ trụ hoàn toàn có tính chất bất định: nếu như người ta không thể dù chỉ là đo trạng thái hiện thời của vũ trụ một cách chính xác thì người ta chắc chắn không thể tiên đoán những sự kiện tương lai một cách chính xác! 

 

Vẫn để cho đơn giản, ta xét một hạt chuyển động một chiều trên trục thực $\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)$ không phụ thuộc thời gian. Một trạng thái của hệ gồm một hạt này là một không gian một chiều của không gian Hilbert các hàm giá trị phức $(\mathbb{R} \to \mathbb{C})$ $L^2(\mathbb{R})$ (như phát biểu trong tiên đề). Với mỗi trạng thái $\psi$ ta yêu cầu:

$$\left \| \psi \right \| = \int_{\mathbb{R}} \left | \psi \right |^2=1$$

Kỳ vọng, variance và standard deviation của trạng thái $\psi$

$$\left\{\begin{matrix} \mu_{\psi} = \int_{\mathbb{R}}q \left | \psi(q) \right|^2 dq \\ \text{var}\psi = \int_{\mathbb{R}}(q-\mu_{\psi})^2\left | \psi(q) \right|^2 dq  \\ \text{sd}_{\psi} = \sqrt{\text{var}\psi} \end{matrix}\right.$$

Thậm chí với mỗi trạng thái $\psi$ còn cảm sinh một "tích vô hướng":

$$\mu_{\psi}(G) = \left \langle  G\psi, \psi \right \rangle = \int_{\mathbb{R}}(G\psi)(q)\overline{\psi(q)}dq$$

và như vậy $\text{var}_{\psi}(G) = \left \langle  (G - \mu I)^2\psi,\psi \right \rangle$ và $\text{sd}_{\psi}(G) = \sqrt{\text{var}_{\psi}(G)}$. 

 

Một trạng thái $T$ gọi là observable nếu tồn tại không gian con $D(T) \subset L^2(\mathbb{R})$ trù mật trong $L^2$ mà $T:D(T) \to L^2(\mathbb{R})$ là một toán tử tuyến tính tự liên hợp. Trong số các toán tử ta quan tâm ở đây có toán tử động lượng:

$$G: D(G) \to L^2(\mathbb{R})$$

$$\psi \mapsto -i\hbar \frac{d\psi}{dq}$$

trong đó $D(G)$ là tập tất cả các hàm $\phi$ thuộc $L^2(\mathbb{R})$ mà liên tục tuyệt đối trên mọi tập compact của $\mathbb{R}$ đồng thời $G\phi \in L^2(\mathbb{R})$. Motivation cho định nghĩa này khá lằng nhằng nên mình sẽ bỏ qua, dẫu sao nó không thực sự quá quan trọng. 

 

Với hai toán tử tự liên hợp $S,T$ trong không gian trên cùng một không gian Hilbert phức ta định nghĩa được giao hoán tử $[S,T]=ST - TS$ xác định trên miền $D(ST) \cap D(TS)$. Định nghĩa toán tử $Q\psi(q) = q\psi(q)$ thì bằng biến đổi đơn giản ta có quan hệ Heisenberg:

$$[D,Q] = -i\hbar I$$

 

Định lý: (định lý giao hoán tử) Với hai toán tử $S,T$ tự liên hợp vói domain và range là không gian con của $L^2(\mathbb{R})$ thì ta luôn có:

$$\left | \mu_{\psi}([S,T]) \right | \leq 2\text{sd}_{\psi}(S)\text{sd}_{\psi}(T)$$

Chứng minh:

Đặt $A = S - \mu_{\psi}(S)I, B= T-\mu_{\psi}T$ khi đó dễ thấy $[S,T]=[A,B]$ và $A,B$ cũng là các toán tử tự liên hợp:

$$\mu_{\psi}([S,T]) = \left \langle [A,B]\psi, \psi \right \rangle = \left \langle AB\psi,\psi \right \rangle - \left \langle BA\psi ,\psi \right \rangle =  \left \langle B\psi,A\psi  \right \rangle - \left \langle A\psi,B\psi \right \rangle$$

Như vậy theo bất đẳng thức Schwarz:

$$\left | \mu_{\psi}([S,T]) \right| \leq 2\left \| A\psi \right \|\left \| B\psi \right \|=2\text{sd}_{\psi}(T)\text{sd}_{\psi}(S)$$

 

Hệ quả: (nguyên lý bất định Heisenberg) Trong định lý giao hoán tử nếu $S = G, T = Q$ ta có:

$$\text{sd}_{\psi}(G)\text{sd}_{\psi}(Q) \geq \frac{\hbar}{2\pi}$$

Trường hơp tổng quát và các dạng phát biểu khác có thể tham khảo ngay trên Wiki.( đành vậy)

 

Phát biểu chặt chẽ ba tiên đề của một hệ cơ học lượng tử:

 

Tiên đề $1$: (Trạng thái) Trạng thái của một hệ cơ học lượng tử được cho bởi một vector khác không $\psi$ trong một không gian Hilbert phức $\mathfrak{H}$ được trạng bị một tích Hermite.

 

Tiên đề $2$: (Quan sát được) Các trạng thái quan sát được của một hệ cơ học lượng tử là các toán tử tuyến tính tự liên hợp trên không gian Hilbert $\mathfrak{H}$ của nó. 

 

Tiên đề $3$: (Động lực) Có một distinguished observable, Hamiltonian $H$ sao cho tiến hóa thời gian (time evolution) của hệ $\mid \psi(t) > \in \mathfrak{H}$ cho bởi phương trình Schrodinger:

$$i\hbar\frac{d}{dt} \mid \psi(t) > = H  \mid \psi(t)>$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 08-11-2019 - 18:01