Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$
Bắt đầu bởi DBS, 14-07-2021 - 19:10
#2
Đã gửi 14-07-2021 - 19:13
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Bài này cũng quen thuộc mà nhỉ!
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#4
Đã gửi 14-07-2021 - 20:27
DBS
-
- Thành viên
-
- 167 Bài viết
Trung sĩ
Bài này cũng quen thuộc mà nhỉ!
Nhìn thì quen thuộc nhưng giải ko được ạ 
#5
Đã gửi 14-07-2021 - 20:31
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Gợi ý cho em một cách: Cộng $1$ vào hai vế rồi dùng BĐT C-S
Hoặc nhân 2 vế cho $b+c$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#6
Đã gửi 14-07-2021 - 20:49
DBS
-
- Thành viên
-
- 167 Bài viết
Trung sĩ
Hoặc nhân 2 vế cho $b+c$
Gợi ý cho em một cách: Cộng $1$ vào hai vế rồi dùng BĐT C-S
Thử hết cả hai cách rồi mà ko ra hai anh ơi
#7
Đã gửi 14-07-2021 - 21:03
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#8
Đã gửi 14-07-2021 - 21:06
DBS
-
- Thành viên
-
- 167 Bài viết
Trung sĩ
Sol của em:
Nhân hai vế BĐT cho $(a+b)$, ta được:
$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(a+b)\geq \frac{(a+b)^2}{b+c}+(b+c)+(a+b)$
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq \frac{(a+b)^2}{b+c}+2b$ (Đúng theo $C-S$ và $AM-GM$)
#9
Đã gửi 14-07-2021 - 21:08
DBS
-
- Thành viên
-
- 167 Bài viết
Trung sĩ
Chắc do nãy em nhân sai nên mới ko làm đc, chuyển sang nhân với $a+b$ thì lại ngon 
#10
Đã gửi 14-07-2021 - 21:31
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Đây cũng là một bổ đề rất hay, thường được sử dụng trong chứng minh
Một bài điển hình:
Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leqslant 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$
- DBS yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
