cho hàm số: $f(x)=(1-m^3)x^3+3mx^2+(3m^2-2m+2)x+m^3+2m$ với m là tham số. Tìm m để $f(x)\geq 0 \forall x\in \left [ 2,5 \right ]$
cho hàm số: $f(x)=(1-m^3)x^3+3mx^2+(3m^2-2m+2)x+m^3+2m$ với m là tham số.
#1
Đã gửi 15-07-2021 - 21:08
#2
Đã gửi 17-07-2021 - 20:45
$m=1$: $f(x)=3\left(x^{2}+x+1\right)>0$ $\forall x\in \mathbb{R}$
Xét $m\neq 1$:
$f(x)=\left(1-m^{3}\right)x^{3}+m\left(m^{2}+m+1\right)x^{2}-m(m-1)(m+2)x^{2}+m^{2}(m+2)x-(m-1)\left(m^{2}+2\right)x+m\left(m^{2}+2\right)$
$=\left[(1-m)x+m\right]\left[\left(m^{2}+m+1\right)x^{2}+m(m+2)x+m^{2}+2\right]$
Đặt tam thức bậc $2$ là $g(x)$. $\Delta=m^{2}(m+2)^{2}-4\left(m^{2}+m+1\right)\left(m^{2}+2\right)=-3m^{4}-8\left(m^{2}+m+1\right)<0$ $\forall m\in \mathbb{R}$
Mà $m^{2}+m+1>0$ $\forall m\in \mathbb{R}$ nên theo định lý về dấu của tam thức bậc $2$ thì $g(x)>0$ $\forall m\in \mathbb{R}$
Do đó $f(x)\geq 0$ $\forall x\in [2;5]$ $\Leftrightarrow (1-m)x+m\geq 0$ $\forall x\in [2;5]$ $\Leftrightarrow m\leq 1+\dfrac{1}{x-1}$ $\forall x\in [2;5]$
$\Leftrightarrow m\leq \min_{[2;5]}\left(1+\frac{1}{x-1}\right)=\dfrac{5}{4}$
- NguToanHoc yêu thích
#3
Đã gửi 18-07-2021 - 08:34
$m=1$: $f(x)=3\left(x^{2}+x+1\right)>0$ $\forall x\in \mathbb{R}$
Xét $m\neq 1$:
$f(x)=\left(1-m^{3}\right)x^{3}+m\left(m^{2}+m+1\right)x^{2}-m(m-1)(m+2)x^{2}+m^{2}(m+2)x-(m-1)\left(m^{2}+2\right)x+m\left(m^{2}+2\right)$
$=\left[(1-m)x+m\right]\left[\left(m^{2}+m+1\right)x^{2}+m(m+2)x+m^{2}+2\right]$
Đặt tam thức bậc $2$ là $g(x)$. $\Delta=m^{2}(m+2)^{2}-4\left(m^{2}+m+1\right)\left(m^{2}+2\right)=-3m^{4}-8\left(m^{2}+m+1\right)<0$ $\forall m\in \mathbb{R}$
Mà $m^{2}+m+1>0$ $\forall m\in \mathbb{R}$ nên theo định lý về dấu của tam thức bậc $2$ thì $g(x)>0$ $\forall m\in \mathbb{R}$
Do đó $f(x)\geq 0$ $\forall x\in [2;5]$ $\Leftrightarrow (1-m)x+m\geq 0$ $\forall x\in [2;5]$ $\Leftrightarrow m\leq 1+\dfrac{1}{x-1}$ $\forall x\in [2;5]$
$\Leftrightarrow m\leq \min_{[2;5]}\left(1+\frac{1}{x-1}\right)=\dfrac{5}{4}$
hay quá ạ
cho em hỏi sao anh tìm được nhân tử \left[(1-m)x+m\right] vậy ạ
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh