Chủ đề này có 3 trả lời

[coconut00]

cho hàm số: $f(x)=(1-m^3)x^3+3mx^2+(3m^2-2m+2)x+m^3+2m$ với m là tham số. Tìm m để $f(x)\geq 0 \forall  x\in \left [ 2,5 \right ]$

[Dark Repulsor]

$m=1$:  $f(x)=3\left(x^{2}+x+1\right)>0$  $\forall x\in \mathbb{R}$

Xét $m\neq 1$:

$f(x)=\left(1-m^{3}\right)x^{3}+m\left(m^{2}+m+1\right)x^{2}-m(m-1)(m+2)x^{2}+m^{2}(m+2)x-(m-1)\left(m^{2}+2\right)x+m\left(m^{2}+2\right)$

$=\left[(1-m)x+m\right]\left[\left(m^{2}+m+1\right)x^{2}+m(m+2)x+m^{2}+2\right]$

Đặt tam thức bậc $2$ là $g(x)$.  $\Delta=m^{2}(m+2)^{2}-4\left(m^{2}+m+1\right)\left(m^{2}+2\right)=-3m^{4}-8\left(m^{2}+m+1\right)<0$  $\forall m\in \mathbb{R}$

Mà $m^{2}+m+1>0$  $\forall m\in \mathbb{R}$ nên theo định lý về dấu của tam thức bậc $2$ thì $g(x)>0$  $\forall m\in \mathbb{R}$

Do đó  $f(x)\geq 0$  $\forall x\in [2;5]$  $\Leftrightarrow (1-m)x+m\geq 0$  $\forall x\in [2;5]$  $\Leftrightarrow m\leq 1+\dfrac{1}{x-1}$  $\forall x\in [2;5]$

$\Leftrightarrow m\leq \min_{[2;5]}\left(1+\frac{1}{x-1}\right)=\dfrac{5}{4}$

 

[Serine]

$m=1$:  $f(x)=3\left(x^{2}+x+1\right)>0$  $\forall x\in \mathbb{R}$

Xét $m\neq 1$:

$f(x)=\left(1-m^{3}\right)x^{3}+m\left(m^{2}+m+1\right)x^{2}-m(m-1)(m+2)x^{2}+m^{2}(m+2)x-(m-1)\left(m^{2}+2\right)x+m\left(m^{2}+2\right)$

$=\left[(1-m)x+m\right]\left[\left(m^{2}+m+1\right)x^{2}+m(m+2)x+m^{2}+2\right]$

Đặt tam thức bậc $2$ là $g(x)$.  $\Delta=m^{2}(m+2)^{2}-4\left(m^{2}+m+1\right)\left(m^{2}+2\right)=-3m^{4}-8\left(m^{2}+m+1\right)<0$  $\forall m\in \mathbb{R}$

Mà $m^{2}+m+1>0$  $\forall m\in \mathbb{R}$ nên theo định lý về dấu của tam thức bậc $2$ thì $g(x)>0$  $\forall m\in \mathbb{R}$

Do đó  $f(x)\geq 0$  $\forall x\in [2;5]$  $\Leftrightarrow (1-m)x+m\geq 0$  $\forall x\in [2;5]$  $\Leftrightarrow m\leq 1+\dfrac{1}{x-1}$  $\forall x\in [2;5]$

$\Leftrightarrow m\leq \min_{[2;5]}\left(1+\frac{1}{x-1}\right)=\dfrac{5}{4}$

hay quá ạ 

cho em hỏi sao anh tìm được nhân tử \left[(1-m)x+m\right] vậy ạ

[PDF]

hay quá ạ 

cho em hỏi sao anh tìm được nhân tử \left[(1-m)x+m\right] vậy ạ

Hằng đẳng thức lớp 8 và một chút kinh nghiệm, hoặc máy tính em nhé.