Chủ đề này có 2 trả lời

[Lemonjuice]

Cho k là một số nguyên cố định; a là một số nguyên cố định Tìm tất cả các hàm số $f(x):\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ sao cho $f(x+k)-f(x)=a$ với mọi x là số nguyên 

 

*Liệu ta có thể giải bài trên khi cho hàm $f(x):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và khi k;a đều là số thực không ( a;k cố định cho trước)

[perfectstrong]

Cẩn thận với $k=0$. Nhưng tạm thời cứ bỏ qua trường hợp đó.

Từ giả thiết thì dễ dàng quy nạp được rằng $f(x+nk)-f(x)=na \,\forall n \in \mathbb{Z}$ (1) (quy nạp với $n > 0$ rồi áp dụng ngược với $n < 0$).

Bây giờ xét $k$ dương, còn $k$ âm xét tương tự. Ta đặt các giá trị khởi điểm $v_i = f(i)$ với $i \in \{ 0, 1, \ldots, k-1\}$.

Như vậy, với mọi $x$, ta viết $x$ thành dạng $pk + q$ với $p \in \mathbb{Z}, q \in \{ 0, 1, \ldots, k-1\}$. Khi đó sử dụng (1) ta có ngay $f(x)=pa + v_q$.

 

Trong trường hợp $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thì sẽ phức tạp hợp nhưng ý tưởng cũng tương tự và phải sử dụng một số kiến thức cao cấp về lý thuyết tập hợp.

Tuy nhiên, trường hợp $\mathbb{Q}$ thì có thể là làm được với kiến thức sơ cấp. Bạn thử xem sao

[Lemonjuice]

Cẩn thận với $k=0$. Nhưng tạm thời cứ bỏ qua trường hợp đó.

Từ giả thiết thì dễ dàng quy nạp được rằng $f(x+nk)-f(x)=na \,\forall n \in \mathbb{Z}$ (1) (quy nạp với $n > 0$ rồi áp dụng ngược với $n < 0$).

Bây giờ xét $k$ dương, còn $k$ âm xét tương tự. Ta đặt các giá trị khởi điểm $v_i = f(i)$ với $i \in \{ 0, 1, \ldots, k-1\}$.

Như vậy, với mọi $x$, ta viết $x$ thành dạng $pk + q$ với $p \in \mathbb{Z}, q \in \{ 0, 1, \ldots, k-1\}$. Khi đó sử dụng (1) ta có ngay $f(x)=pa + v_q$.

 

Trong trường hợp $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thì sẽ phức tạp hợp nhưng ý tưởng cũng tương tự và phải sử dụng một số kiến thức cao cấp về lý thuyết tập hợp.

Tuy nhiên, trường hợp $\mathbb{Q}$ thì có thể là làm được với kiến thức sơ cấp. Bạn thử xem sao

Dạ vâng cảm ơn anh ; về trường hợp  $\mathbb{Q}$ thì em làm y như trường hợp $\mathbb{Z}$ chỉ khác là em chọn n ( n là số nguyên) sao cho nk và na đều là số nguyên rồi áp dụng bài trên. 

Em có một số mở rộng cho bài này mong mọi người cùng thảo luận: Cho k và a là 3 số hữu tỉ cho trước cố định. Tìm tất cả các hàm $f(x):\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ sao cho $f(x+k)=f(x)a+1$. Bài này em làm được cho trường hợp  $\mathbb{Z}$ nhưng hữu tỉ thì không được nên không biết mọi người có hướng nào cho bài này không ạ.