Giải công thức đệ quy sau: $a_n = 4a_{n-1} - 3a_{n-2} + 2^n + n +3$, biết $a_0 =1 $ và $a_1 = 4$
Giải công thức đệ quy sau: $a_n = 4a_{n-1} - 3a_{n-2} + 2^n + n +3$, biết $a_0 =1 $ và $a_1 = 4$
Bắt đầu bởi betty, 19-07-2021 - 15:29
#1
Đã gửi 19-07-2021 - 15:29
#2
Đã gửi 19-07-2021 - 20:28
Gợi ý: Đặt $b_n = a_n - a_{n-1}$. Tìm $b_n$ rồi suy ra $a_n$ vì $a_n = \sum\limits_{m=0}^{n} b_m$.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 20-07-2021 - 13:31
Ta có :Giải công thức đệ quy sau: $a_n = 4a_{n-1} - 3a_{n-2} + 2^n + n +3$, biết $a_0 =1 $ và $a_1 = 4$
$$a_{n}-4a_{n-1}+3a_{n-2}=2^{n}+n+3$$ $(1)$
Hệ thức đệ qui tuyến tính là :
$$ a_{n}-4a_{n-1}+3a_{n-2}=0 $$ $(2)$
có phương trình đặc trưng sau:
$$r^{2}-4r+3=0$$ $(3)$
có 2 nghiệm phân biệt $r_{1}=1,r_{2}=3$. Do đó nghiệm tổng quát của $(2)$ là
$$a_{n}^{\left ( h \right )}=A+B.3^{n}$$ $(3)$
Vế phải của $(1)$ là $f\left ( n \right )=2^{n}+n+3$. Xét các hệ thức đệ qui:
$\bullet\quad a_{n}-4a_{n-1}+3a_{n-2}=2^{n}$ $(1')$ có nghiệm riêng dạng $c2^{n}$, thế vào $(1')$ ta được $c=-4$ suy ra nghiệm riêng của $(1')$ là $a_{n_{1}}=-4.2^{n}$
$\bullet\quad a_{n}-4a_{n-1}+3a_{n-2}=n.1^{n}$ $(1'')$ có nghiệm riêng dạng $n(cn+d)$, thế vào $(1'')$ ta được $c=-\frac{1}{4}$ và $d=-1$ suy ra nghiệm riêng của $(1'')$ là $a_{n_{2}}=-\frac{1}{4}.n^{2}-n$
$\bullet\quad a_{n}-4a_{n-1}+3a_{n-2}=3$ $(1''')$ có nghiệm riêng dạng $cn$, thế vào $(1''')$ ta được $c=-\frac{3}{2}$ suy ra nghiệm riêng của $(1''')$ là $a_{n_{3}}=-\frac{3}{2}n$.
Suy ra nghiệm riêng của $(1)$ là $$a_{n}^{\left ( p \right )}=-4.2^{n}-\frac{1}{4}n^{2}-n-\frac{3}{2}n=-4.2^{n}-\frac{1}{4}n^{2}-\frac{5}{2}n$$ $(4)$
Từ $(3)$ và $(4)$ ta có nghiệm tổng quát của $(1)$:
$$a_{n}=a_{n}^{(h)}+a_{n}^{(p)}=A+B.3^{n}-4.2^{n}-\frac {1}{4}n^{2}-\frac {5}{2}n$$ $(5)$
Thế $n=0, n=1$ vào $(5)$ ta được $A=\frac {1}{8}$ và $B=\frac {39}{8}$.
Vậy nghiệm tổng quát của $(1)$ là :
$$\boxed {a_{n}=\frac {1}{8}+\frac {39}{8}3^{n}-4.2^{n}-\frac{1}{4}n^{2}-\frac {5}{2}n}$$
- perfectstrong, Baoriven, Hoang72 và 1 người khác yêu thích
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#4
Đã gửi 22-07-2021 - 18:07
Vâng, mình có thể kiểm tra kết quả bằng cách tiếp cận bài toán theo hướng khác là sử dụng hàm sinh như sau :
Ta có :
$$a_{n}=4a_{n-1}-3a_{n-2}+2^{n}+n+3$$ $(1)$
Gọi $G(x)=\sum_{n=0}^{\infty } a_{n}x^{n}$ là hàm sinh của dãy $a_{0}, a_{1}, a_{2},...$ và nhân 2 vế của $(1)$ với $x^{n}$ rồi cộng vế với vế ta được :
$\begin {align*}
G(x)=&\quad\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}= \sum_{n=0}^{\infty } 4a_{n-1}x^n- \sum_{n=0}^{\infty } 3a_{n-2}x^n+ \sum_{n=0}^{\infty }
2^{n}x^{n}+ \sum_{n=0}^{\infty }
nx^{n}+ \sum_{n=0}^{\infty } 3x^{n}\\
G(x)-1-4x=&\quad 4 \sum_{n=2}^{\infty } a_{n-1}x^{n}-3 \sum_{n=2}^{\infty } a_{n-2}x^{n}+\sum_{n=2}^{\infty }\left(2^{n}+n+3\right)x^{n}\\
=&\quad 4x\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}x^{n}-3x^{2}\sum_{n=2}^{\infty } a_{n-2}x^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty } 2^{n}x^{n}-1-2x\\
&\quad +\sum_{n=0}^{\infty } nx^{n}-x+\sum_{n=0}^{\infty } 3x^{n}-3-3x\\
=&\quad 4x\left ( G(x)-1 \right )-3x^{2}G(x)+\frac{1}{1-2x}-1-2x\\
&\quad +\frac{x}{\left ( 1-x \right )^2}-x+\frac{3}{1-x}-3-3x\\
G(x)-4xG(x)+3x^{2}G(x)=&\quad 1+\frac{1}{1-2x}-\left ( 1+2x \right )+\frac{x}{\left ( 1-x \right )^{2}}\\
&\quad -x+\frac{3}{1-x}-3\left ( 1+x \right )\\
G(x)\left [\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )\right] =&\quad \frac{1}{1-2x}-6x-3+\frac{x}{\left ( 1-x \right )^{2}}+\frac{3}{1-x}
\end{align*}$
Tiến hành tách phân thức :
$\begin{align*}
\frac {1}{\left ( 1-2x \right )\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )} &= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-x}-\frac{4}{1-2x}+\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{1-3x} \\
-3\frac{\left ( 2x+1 \right )}{\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )} &= \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{1-x}-\frac{15}{2}\cdot \frac{1}{1-3x} \\
\frac{x}{\left ( 1-x \right )^{2}\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )} &= -\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{1-x}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\left ( 1-x \right )^{2}}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\left ( 1-x \right )^{3}}\\&+\frac{9}{8}\cdot \frac{1}{1-3x}\\
\frac{3}{\left ( 1-x \right )\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )} &= -\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{1-x}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{\left ( x-1 \right )^{2}}+\frac{27}{4}\cdot \frac{1}{1-3x}.
\end{align*}$
$\Rightarrow G(x)=\frac {1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}-4\sum_{n=0}^{\infty }2^{n}x^{n}+\frac {9}{2}\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}x^{n}+\frac {9}{2}\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}-\frac {15}{2}\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}x^{n}-\frac {3}{8}\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}-\frac {1}{4}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( n+1 \right )x^{n}-\frac {1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}{2}x^{n}+\frac {9}{8}\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}x^{n}-\frac {9}{4}\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}-\frac {3}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( n+1 \right )x^{n}+\frac {27}{4}\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}x^{n}$
$\Rightarrow a_{n}=\frac {1}{2}-4\cdot2^{n}+\frac {9}{2}\cdot 3^{n}+\frac {9}{2}-\frac{15}{2}\cdot3^{n}-\frac{3}{8}-\frac{1}{4}\left ( n+1 \right )\\-\frac{1}{4} \left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )+\frac {9}{8}\cdot3^{n}- \frac {9}{4}-\frac{3}{2}\left ( n+1 \right )+\frac {27}{4}\cdot 3^{n}$
Vậy công thức tường minh là :
$$\boxed {a_{n}=\frac {39}{8}\cdot3^{n}-4\cdot2^{n}-\frac{1}{4}\cdot n^{2}-\frac{5}{2}\cdot n+\frac {1}{8}}$$
Ps: Bạn xem tạm vậy! (Mình mất rất nhiều thời gian sửa lỗi xử lý toán của Latex)!!!
Ta có :
$$a_{n}=4a_{n-1}-3a_{n-2}+2^{n}+n+3$$ $(1)$
Gọi $G(x)=\sum_{n=0}^{\infty } a_{n}x^{n}$ là hàm sinh của dãy $a_{0}, a_{1}, a_{2},...$ và nhân 2 vế của $(1)$ với $x^{n}$ rồi cộng vế với vế ta được :
$\begin {align*}
G(x)=&\quad\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}= \sum_{n=0}^{\infty } 4a_{n-1}x^n- \sum_{n=0}^{\infty } 3a_{n-2}x^n+ \sum_{n=0}^{\infty }
2^{n}x^{n}+ \sum_{n=0}^{\infty }
nx^{n}+ \sum_{n=0}^{\infty } 3x^{n}\\
G(x)-1-4x=&\quad 4 \sum_{n=2}^{\infty } a_{n-1}x^{n}-3 \sum_{n=2}^{\infty } a_{n-2}x^{n}+\sum_{n=2}^{\infty }\left(2^{n}+n+3\right)x^{n}\\
=&\quad 4x\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}x^{n}-3x^{2}\sum_{n=2}^{\infty } a_{n-2}x^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty } 2^{n}x^{n}-1-2x\\
&\quad +\sum_{n=0}^{\infty } nx^{n}-x+\sum_{n=0}^{\infty } 3x^{n}-3-3x\\
=&\quad 4x\left ( G(x)-1 \right )-3x^{2}G(x)+\frac{1}{1-2x}-1-2x\\
&\quad +\frac{x}{\left ( 1-x \right )^2}-x+\frac{3}{1-x}-3-3x\\
G(x)-4xG(x)+3x^{2}G(x)=&\quad 1+\frac{1}{1-2x}-\left ( 1+2x \right )+\frac{x}{\left ( 1-x \right )^{2}}\\
&\quad -x+\frac{3}{1-x}-3\left ( 1+x \right )\\
G(x)\left [\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )\right] =&\quad \frac{1}{1-2x}-6x-3+\frac{x}{\left ( 1-x \right )^{2}}+\frac{3}{1-x}
\end{align*}$
Tiến hành tách phân thức :
$\begin{align*}
\frac {1}{\left ( 1-2x \right )\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )} &= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-x}-\frac{4}{1-2x}+\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{1-3x} \\
-3\frac{\left ( 2x+1 \right )}{\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )} &= \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{1-x}-\frac{15}{2}\cdot \frac{1}{1-3x} \\
\frac{x}{\left ( 1-x \right )^{2}\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )} &= -\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{1-x}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\left ( 1-x \right )^{2}}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\left ( 1-x \right )^{3}}\\&+\frac{9}{8}\cdot \frac{1}{1-3x}\\
\frac{3}{\left ( 1-x \right )\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )} &= -\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{1-x}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{\left ( x-1 \right )^{2}}+\frac{27}{4}\cdot \frac{1}{1-3x}.
\end{align*}$
$\Rightarrow G(x)=\frac {1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}-4\sum_{n=0}^{\infty }2^{n}x^{n}+\frac {9}{2}\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}x^{n}+\frac {9}{2}\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}-\frac {15}{2}\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}x^{n}-\frac {3}{8}\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}-\frac {1}{4}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( n+1 \right )x^{n}-\frac {1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}{2}x^{n}+\frac {9}{8}\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}x^{n}-\frac {9}{4}\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}-\frac {3}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( n+1 \right )x^{n}+\frac {27}{4}\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}x^{n}$
$\Rightarrow a_{n}=\frac {1}{2}-4\cdot2^{n}+\frac {9}{2}\cdot 3^{n}+\frac {9}{2}-\frac{15}{2}\cdot3^{n}-\frac{3}{8}-\frac{1}{4}\left ( n+1 \right )\\-\frac{1}{4} \left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )+\frac {9}{8}\cdot3^{n}- \frac {9}{4}-\frac{3}{2}\left ( n+1 \right )+\frac {27}{4}\cdot 3^{n}$
Vậy công thức tường minh là :
$$\boxed {a_{n}=\frac {39}{8}\cdot3^{n}-4\cdot2^{n}-\frac{1}{4}\cdot n^{2}-\frac{5}{2}\cdot n+\frac {1}{8}}$$
Ps: Bạn xem tạm vậy! (Mình mất rất nhiều thời gian sửa lỗi xử lý toán của Latex)!!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 23-07-2021 - 00:21
- perfectstrong, Hoang72, betty và 1 người khác yêu thích
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh